Re: [obm-l] Neve caindo

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 06.08.03 21:50, Marcio Afonso A. Cohen at marciocohen@superig.com.br
wrote:

> Esse problema ocupou minha cabeca durante boa parte de uma palestra
> chata que eu tive que assitir hoje. Consegui fazer no finalzinho da
> palestra. Eh um bom treino para o pessoal que vai fazer a 2a fase da obm
> agora (em particular aos que vao fazer a 1a fase da obm-u).
> "Numa determinada manha, numa determinada rua, comeca a cair neve
> numa taxa constante. Ao meio dia, sai do quilometro zero dessa estrada um
> carrinho limpador de neve, que tem a propriedade de retirar a neve numa
> razao constante. Sabendo-se que ele passou pelo quilometro 2 as 14hs, e pelo
> Km 3 as 16hs, determine o horario em que comecou a nevar."
> 
> Obs: Estou assumindo que a neve cai de forma igual independente da posicao
> que voce se encontra na rua.
> 
> Abracos,
> Marcio
> 

Oi, Marcio:

Suponhamos que tenha comecado a nevar em t = T (T < 0 significa que comecou
a nevar antes de hoje).

Como a capacidade do carrinho eh constante, a sua velocidade na posicao x e
no instante t serah inversamente proporcional a quantidade de neve acumulada
em x, a qual, por sua vez, eh diretamente proporcional a (t - T) = tempo
decorrido desde que comecou a nevar.

Logo, a posicao do carrinho obedece a equacao diferencial:
dx/dt = k/(t - T), onde k = constante a ser determinada ==>
dx = k*dt/(t - T) ==>
x = k*ln(t - T) + C

Mas sabemos que:
t = 12 ==> x = 0
t = 14 ==> x = 2
t = 16 ==> x = 3

Assim, obtemos o sistema nao-linear:
k*ln(12 - T) + C = 0
k*ln(14 - T) + C = 2
k*ln(16 - T) + C = 3 ==>

12 - T = e^(-C/k)
14 - T = e^(2/k)*e^(-C/k)
16 - T = e^(3/k)*e^(-C/k) ==>

Substituindo a 1a. eq. nas outras duas:
14 - T = e^(2/k)*(12 - T)
16 - T = e^(3/k)*(12 - T) ==>

Elevando a 1o. equacao a 3/2:
(14 - T)^(3/2) = e^(3/k)*(12 - T)^(3/2)
16 - T = e^(3/k)*(12 - T) ==>

Dividindo a 1a. equacao pela 2a. para eliminar o fator e^(3/k):
(14 - T)^(3/2)/(16 - T) = (12 - T)^(1/2) ==>
0
(14 - T)^3 = (16 - T)^2*(12 - T) ==>

2744 - 588T + 42T^2 - T^3 = 3072 - 640T + 44T^2 - T^3 ==>

2T^2 - 52T + 328 = 0 ==>

T^2 - 26T + 164 = 0 ==>

T = 13 +ou- raiz(5) ==>

T = 13 - raiz(5) ~ 10h 45m 50s.
 

Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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