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Caros colegas:
Não sei se alguém vai se interessar pelo problema abaixo mas, dentro do
mercado financeiro, a área que mais utiliza métodos matemáticos avançados é a de
avaliação de instrumentos derivativos, dos quais existem inúmeros tipos, entre
os quais as opções de compra - objeto do problema
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O mercado de opções (e, mais geralmente, o de instrumentos derivativos)
movimenta todos os dias bilhões de dólares em todo o mundo. A
definição desse instrumento é bem simples:
Uma Opção de Compra é um contrato entre duas partes que dá a uma delas (o
titular da opção) o direito, mas não a obrigação, de comprar um dado bem, por um
preço fixo, numa certa data futura.
Por exemplo, suponhamos que um investidor compre uma opção de compra
sobre uma certa ação que lhe dê o direito de, dentro de 1 ano, comprar esta ação
por R$ 100,00.
Ao fim de 1 ano, temos dois casos a considerar:
Caso 1: A ação está sendo cotada em bolsa a um preço superior a R$
100.
Nesse caso, o investidor deve exercer sua opção de comprar a ação, uma vez
que ao fazer isso, ele estará adquirindo esta ação a um preço inferior àquele
disponível na bolsa.
Por exemplo, se a ação estiver sendo cotada em bolsa a R$ 130, ao exercer a
opção e adquirir a ação por apenas R$ 100, este investidor estará auferindo um
lucro de R$ 30.
Caso 2: A ação está sendo cotada em bolsa a um preço superior a R$
100.
Nesse caso, o investidor deve abandonar a sua opção (abrir mão do seu
direito) pois, se quiser, poderá adquirir a ação por um preço menor diretamente
na bolsa.
Por exemplo, se a ação estiver sendo cotada em bolsa a R$ 80, por que o
investidor irá pagar R$ 100 por ela?
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Feito esse preâmbulo explicativo, passemos ao problema matemático de se
avaliar uma opção de compra.
Vamos supor o caso simples (e irreal) de uma ação cujo preço hoje é R$ 100,
e cujo preço, daqui a 1 ano, tem a seguinte distribuição
probabilística:
R$ 200, com probabilidade = p
e
R$ 50, com probabilidade = 1 - p.
Além disso, vamos supor (também irrealmente) que seja possível aplicar
dinheiro e/ou tomar dinheiro emprestado a uma mesma taxa de juros, digamos de
20% ao ano.
Pergunta: Quanto deve valer uma opção de compra que dê o direito de se
comprar esta ação daqui a 1 ano por R$ 110?
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OBS1: Repare que, se daqui a 1 ano, a ação estiver valendo R$ 200, a opção
permitirá que o titular tenha um lucro de R$ 90 (200 - 110). Por outro lado, se
a ação estiver valendo R$ 50, o titular deverá simplesmente abandoná-la.
Assim, na pior das hipóteses, o titular não perde nem ganha, e na melhor,
ganha R$ 90. Logo, é razoável se esperar que esta opção valha alguma coisa
hoje.
OBS2: Esse caso parece (de fato é) excesivamente simples e irreal. No
entanto, é a base para o chamado modelo binomial de avaliação de opções, um dos
modelos que é usado no mundo inteiro por investidores e instituições financeiras
para avaliar opções de verdade.
OBS3: Opções tem sido negociadas desde a Renascença (e talvez antes disso),
mas foi apenas em 1973 que dois acadêmicos (Fisher Black e Myron Scholes - este
último ganhador do prêmio Nobel de Economia em 1997) tiveram a "sacada" que
revolucionou as técnicas de avaliação e, consequentemente, o mercado mundial de
derivativos.
Um abraço,
Claudio.
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