Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 05.08.03 18:45, e_lema@ig.com.br at e_lema@ig.com.br wrote:

> Nenhum nº qudrado perfeito termina em 3, logo o 3 deverá ser sempre o 1ºalg.
> da esq. p/ a dir.;já o seis é mais complicado.
> os nº serão da forma: 300....00600...00=3*10^(f+2q+1)+6*10^(2q)
> onde onde f é o nºde zeros entre o 3 e o 6 e 2q é o nºde zeros depois do 6,
> f e q sendo inteiros não-negativos.
> 
> Agora vamos mostrar que f só poderá ser 0(admitindo q=0):
> 3*10^(f+1)+6=30*10^(f)+6=k^2 ; k inteiro positivo
> k^2=6*(5*10^(f)+1)
>
A partir daqui, bastava considerar que:
6 divide k^2 ==> 6 divide k ==> 6^2 divide k^2 ==> 6 divide 5*10^f + 1, que
eh impar se f >=1 ==> contradicao.

Mas tudo bem, a sua demonstracao estah perfeita.

> :. 6*a=k*k ; k=a=6 ou (a=6c e 6c=q^2)  {a,c,q}C(Z*+),
> c>=1 :.  5*10^(n)+1=6*c :. c=(5*10^(f)+1)/6
> 
> 6*c deverá ser múltiplo de 6, logo deverá ser múltiplo de 2 e de 3 ao mesmo
> tempo, assim a soma dos alg. de c deve ser múltiplo de 3(o que é fácil de
> observar que sempre ocorre) e c deverá ser par.
> temos duas hipóteses, 1- n>0  ou  2- n=0
> 1-se f>0 então 6*c=50...001, isto é 6*c nunca será par.
> 2-se f=0 então c=6, que é par     CONCLUSÃO: 6*c=6
> 
> Se c=1 então  a=6=k, logo 3*10^(f+1)+6=36 => f=0
> 
> Logo o conjunto pedido será o dos números da forma:
> 
> 36000...0; com nº par de zeros, ou: 3,6*10^(2q+1)
> 
OK. Voce provou que a menos dos 2q zeros a direita, o unico quadrado com 1o.
algarismo 3 e ultimo 6 eh o 36.

Ainda restam os casos: 3*10^(f+1) + 1  e  3*10^(f+1) + 4
mas certamente o fim estah mais proximo!

Um abraco,
Claudio.

> 
> 
> Em 5 Aug 2003, obm-l@mat.puc-rio.br escreveu:
> 
>> Vou mais longe: 
>> 
>> Os candidatos são os quadrados da forma:
>> (3*10^m + A)*10^(2n)
>> onde A pertence a {1,4,6} e m e n são inteiros não negativos.
>> 
>> Até agora, só encontrei números do tipo:
>> 36, 3600, 360000, ..., 36*10^(2n), ...
>> mas não consegui provar que são os únicos.
>> 
>> Um abraço, 
>> Claudio. 
>> 
>> ----- Original Message -----
>> From: "Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet"
>> 
>> To: 
>> Sent: Tuesday, August 05, 2003 1:42 PM
>> Subject: Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
>> 
>>> Retorno do Abertos da lista?
>>> Que tal a gente achar quadrados perfeitos do tipo
>>> 3*10^k+6*10^l? 
>>> O tres nao pode vir no final.Talvez
>>> modulo...Depois eu penso...
>>> --- Claudio Buffara
>>> escreveu: > Caros
>>> colegas: 
>>>> 
>>>> Aqui vao dois problemas que ainda estao em
>>>> aberto na lista. O primeiro foi
>>>> enviado pelo Duda Stabel. O segundo eh da
>>>> olimpiada iraniana, se nao me
>>>> engano. 
>>>> 
>>>> 1) Determinar o conjunto de números inteiros
>>>> positivos que satisfazem à duas
>>>> condições: (i) todo número possui exatamente
>>>> dois algarismos não-nulos,
>>>> sendo um deles o três(3), (ii) todo número é
>>>> quadrado perfeito.
>>>> 
>>>> 2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2
>>>> tal que ao se permutar os
>>>> algarismos de sua representacao decimal
>>>> obtem-se uma outra potencia de 2.
>>>> 
>>>> Esse segundo tem uma solucao aparentemente
>>>> simples, mas esta solucao exclui
>>>> o caso de potencias de 2 com algarismos "0"
>>>> internos (ou seja, numeros do
>>>> tipo "abcd0000efg").
>>>> 
>>>> Um abraco, 
>>>> Claudio. 
>>>> 
>>>> 
>>>> 
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