Nenhum nº qudrado perfeito termina em 3, logo o 3 deverá ser sempre o 1ºalg.
da esq. p/ a dir.;já o seis é mais complicado.
os nº serão da forma: 300....00600...00=3*10^(f+2q+1)+6*10^(2q)
onde onde f é o nºde zeros entre o 3 e o 6 e 2q é o nºde zeros depois do 6,
f e q sendo inteiros não-negativos.
Agora vamos mostrar que f só poderá ser 0(admitindo q=0):
3*10^(f+1)+6=30*10^(f)+6=k^2 ; k inteiro positivo
k^2=6*(5*10^(f)+1) :. 6*a=k*k ; k=a=6 ou (a=6c e 6c=q^2) {a,c,q}C(Z*+),
c>=1 :. 5*10^(n)+1=6*c :. c=(5*10^(f)+1)/6
6*c deverá ser múltiplo de 6, logo deverá ser múltiplo de 2 e de 3 ao mesmo
tempo, assim a soma dos alg. de c deve ser múltiplo de 3(o que é fácil de
observar que sempre ocorre) e c deverá ser par.
temos duas hipóteses, 1- n>0 ou 2- n=0
1-se f>0 então 6*c=50...001, isto é 6*c nunca será par.
2-se f=0 então c=6, que é par CONCLUSÃO: 6*c=6
Se c=1 então a=6=k, logo 3*10^(f+1)+6=36 => f=0
Logo o conjunto pedido será o dos números da forma:
36000...0; com nº par de zeros, ou: 3,6*10^(2q+1)
Em 5 Aug 2003, obm-l@mat.puc-rio.br escreveu:
>Vou mais longe:
>
>Os candidatos são os quadrados da forma:
>(3*10^m + A)*10^(2n)
>onde A pertence a {1,4,6} e m e n são inteiros não negativos.
>
>Até agora, só encontrei números do tipo:
>36, 3600, 360000, ..., 36*10^(2n), ...
>mas não consegui provar que são os únicos.
>
>Um abraço,
>Claudio.
>
>----- Original Message -----
>From: "Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet"
>
>To:
>Sent: Tuesday, August 05, 2003 1:42 PM
>Subject: Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
>
>> Retorno do Abertos da lista?
>> Que tal a gente achar quadrados perfeitos do tipo
>> 3*10^k+6*10^l?
>> O tres nao pode vir no final.Talvez
>> modulo...Depois eu penso...
>> --- Claudio Buffara
>> escreveu: > Caros
>> colegas:
>> >
>> > Aqui vao dois problemas que ainda estao em
>> > aberto na lista. O primeiro foi
>> > enviado pelo Duda Stabel. O segundo eh da
>> > olimpiada iraniana, se nao me
>> > engano.
>> >
>> > 1) Determinar o conjunto de números inteiros
>> > positivos que satisfazem à duas
>> > condições: (i) todo número possui exatamente
>> > dois algarismos não-nulos,
>> > sendo um deles o três(3), (ii) todo número é
>> > quadrado perfeito.
>> >
>> > 2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2
>> > tal que ao se permutar os
>> > algarismos de sua representacao decimal
>> > obtem-se uma outra potencia de 2.
>> >
>> > Esse segundo tem uma solucao aparentemente
>> > simples, mas esta solucao exclui
>> > o caso de potencias de 2 com algarismos "0"
>> > internos (ou seja, numeros do
>> > tipo "abcd0000efg").
>> >
>> > Um abraco,
>> > Claudio.
>> >
>> >
>> >
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