Nenhum n� qudrado perfeito termina em 3, logo o 3 dever� ser sempre o 1�alg.
da esq. p/ a dir.;j� o seis � mais complicado.
os n� ser�o da forma: 300....00600...00=3*10^(f+2q+1)+6*10^(2q)
onde onde f � o n�de zeros entre o 3 e o 6 e 2q � o n�de zeros depois do 6,
f e q sendo inteiros n�o-negativos.
Agora vamos mostrar que f s� poder� ser 0(admitindo q=0):
3*10^(f+1)+6=30*10^(f)+6=k^2 ; k inteiro positivo
k^2=6*(5*10^(f)+1) :. 6*a=k*k ; k=a=6 ou (a=6c e 6c=q^2) {a,c,q}C(Z*+),
c>=1 :. 5*10^(n)+1=6*c :. c=(5*10^(f)+1)/6
6*c dever� ser m�ltiplo de 6, logo dever� ser m�ltiplo de 2 e de 3 ao mesmo
tempo, assim a soma dos alg. de c deve ser m�ltiplo de 3(o que � f�cil de
observar que sempre ocorre) e c dever� ser par.
temos duas hip�teses, 1- n>0 ou 2- n=0
1-se f>0 ent�o 6*c=50...001, isto � 6*c nunca ser� par.
2-se f=0 ent�o c=6, que � par CONCLUS�O: 6*c=6
Se c=1 ent�o a=6=k, logo 3*10^(f+1)+6=36 => f=0
Logo o conjunto pedido ser� o dos n�meros da forma:
36000...0; com n� par de zeros, ou: 3,6*10^(2q+1)
Em 5 Aug 2003, obm-l@mat.puc-rio.br escreveu:
>Vou mais longe:
>
>Os candidatos s�o os quadrados da forma:
>(3*10^m + A)*10^(2n)
>onde A pertence a {1,4,6} e m e n s�o inteiros n�o negativos.
>
>At� agora, s� encontrei n�meros do tipo:
>36, 3600, 360000, ..., 36*10^(2n), ...
>mas n�o consegui provar que s�o os �nicos.
>
>Um abra�o,
>Claudio.
>
>----- Original Message -----
>From: "Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet"
>
>To:
>Sent: Tuesday, August 05, 2003 1:42 PM
>Subject: Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
>
>> Retorno do Abertos da lista?
>> Que tal a gente achar quadrados perfeitos do tipo
>> 3*10^k+6*10^l?
>> O tres nao pode vir no final.Talvez
>> modulo...Depois eu penso...
>> --- Claudio Buffara
>> escreveu: > Caros
>> colegas:
>> >
>> > Aqui vao dois problemas que ainda estao em
>> > aberto na lista. O primeiro foi
>> > enviado pelo Duda Stabel. O segundo eh da
>> > olimpiada iraniana, se nao me
>> > engano.
>> >
>> > 1) Determinar o conjunto de n�meros inteiros
>> > positivos que satisfazem � duas
>> > condi��es: (i) todo n�mero possui exatamente
>> > dois algarismos n�o-nulos,
>> > sendo um deles o tr�s(3), (ii) todo n�mero �
>> > quadrado perfeito.
>> >
>> > 2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2
>> > tal que ao se permutar os
>> > algarismos de sua representacao decimal
>> > obtem-se uma outra potencia de 2.
>> >
>> > Esse segundo tem uma solucao aparentemente
>> > simples, mas esta solucao exclui
>> > o caso de potencias de 2 com algarismos "0"
>> > internos (ou seja, numeros do
>> > tipo "abcd0000efg").
>> >
>> > Um abraco,
>> > Claudio.
>> >
>> >
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