| De: |
owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Thu, 31 Jul 2003 11:35:25 -0300 |
| Assunto: |
201 pessoas de 5 nacionalidades |
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> Oi Pessoal, como posso resolver este problema ?
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> Obrigado e um abraço.
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> Amurpe.
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> Em uma reunião há 201 pessoas de 5 nacionalidades
> diferentes. Sabe-se que, em cada grupo de 6, ao menos 2
> tem a mesma idade.
>
> Demonstrar que ha ao menos 5 pessoas do mesmo pais, da
> mesma idade e do mesmo sexo.
>
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Oi, Amurpe:
Existem 5*2 = 10 combinacoes distintas de nacionalidade e sexo.
Se no maximo 20 pessoas pertencessem a cada combinacao, o numero total de pessoas seria 20*10 = 200 < 201 ==> contradicao.
Logo, deve existir uma combinacao de nacionalidade e sexo a qual pertencem pelo menos 21 pessoas.
Suponhamos que, dentre estas 21 pessoas, no maximo 4 tenham a mesma idade.
Chamemos as pessoas de P1, P2, ..., P21, onde i < j ==> idade(Pi) <= idade(Pj).
Pela nossa suposicao (no maximo 4 com a mesma idade), teremos:
idade(P1) < idade(P5) < idade(P9) < idade(P13) < idade(P17) < idade(P21).
(por exemplo, se idade(P1) = idade(P5), entao P1, P2, P3, P4 e P5 teriam a mesma idade, contrariamente a nossa suposicao).
Ou seja, o grupo de 6 pessoas {P1,P5,P9,P13,P17,P21} nao tem duas pessoas com a mesma idade ==> contradicao.
Logo, devem haver 5 pessoas (dentre as 21) todas com a mesma idade.
Como as 21 pessoas tem a mesma nacionalidade e o mesmo sexo, concluimos que as 5 pessoas dentre elas tem a mesma nacionalidade, sexo e idade.
Um abraco,
Claudio.