[obm-l] Maximos e Minimos / Expansao Racional

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Caros colegas:

Pra dar uma folga pros neuronios dos problemas da IMC, aqui vao dois
problemas bonitinhos (e, espero, mais faceis). O primeiro foi proposto por
George Polya em 1950 (American Mathematical Monthly - vol. 57)

PROBLEMA 1:
Sejam os numeros reais a e b tais que 0 < a < b.

Considere as funcoes f e g: R --> R, dadas por:
f(p) = MAX(a <= x <= b) |p - x|
e
g(p) = MAX(a <= x <= b) |p - x|/x

Calcule os valores minimos de f e g e os valores correspondentes de p.

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PROBLEMA 2:
Seja x um numero real do intervalo (0,1).

Seja a(1) o menor inteiro positivo tal que:
x(1) = x - 1/a(1) >= 0;

Para k >= 2, seja a(k) o menor inteiro positivo tal que:
x(k) = x(k-1) - 1/a(k) >= 0;

Prove que x(n+1) = 0 para algum n se e somente se x for racional.
( neste caso, teremos x = 1/a(1) + 1/a(2) + ... + 1/a(n) )


Um abraco,
Claudio.

 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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