Re: [obm-l] Sequencias

[Manuel Valentim Pera <mane@xxxxxxxxxx>]

Boa noite,

  Sobre seqüências de números reais que tem a propriedade

> > Seja x_{k} uma sequencia de numeros reais tal que
> >
> > lim | x_{k+1} - x_{k} | = 0
> >



  há uma coisa a mais que talvez mereça ser citada:

Vale o seguinte resultado:

  Suponha que a seqüência (x_k) de reais tem a propriedade acima.
  Se a é o limite inferior de (x_k) e b é o limite superior de (x_k) (a ou
b podem ser +- infinito) então para todo ponto z pertencente a [a,b]
existe uma subseqüência (x_(k_j)) de (x_k) que converge para z.

  (Chame-se a esta propriedade P*)

  A recíproca disto é falsa, mas vale a seguinte coisa, se (x_k) tem a
propriedade P* existe uma subseqüência (x_(k_j)) de (x_k), tal
que (x_(k_j)) tem
mesmo limite inferior que (x_k), mesmo limite superior que (x_k), e a
seqüência (x_(k_j)) tem a propriedade

        lim | x_{k_{j+1}} - x_{k_j} | = 0

  As demonstrações disso eu fiz há algum tempo atrás, mas acho mais
divertido deixar para vocês pensarem.

Manuel Garcia

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================