Re: [obm-l] IMO - Problema 2

[gugu@xxxxxxx]

    Caro Paulo,
    Usualmente o termo "equacao de Pell" se refere ao caso j=1 (e o coeficiente 
de b^2 nao depende nem de a nem de b). Nao entendi como concluir uma solucao na 
linha que voce propos. Por outro lado eu consegui (depois de tropecar um pouco) 
achar uma solucao, que reproduzo abaixo, depois de algum espaco, para nao 
atrapalhar quem queira pensar mais no problema.

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Vamos la':

   Se b=1 o problema e' achar todos os a tais que a^2/2a=a/2 e' inteiro. Isso 
nos da' as solucoes {(a,1),a par}. Vamos supor agora b>=2.
   Se 2ab^2-b^3+1 divide a^2 entao tambem divide a^2.(2b^2)-a(2ab^2-b^3+1)=
=a(b^3-1) e (1-b^3)(2ab^2-b^3+1)+(2b^2)(a(b^3-1))=(1-b^3)^2. Sejam entao 
d=mdc(a,1-b^3), a=kd, 1-b^3=ud. Temos que mdc(k,u)=1 e que 2ab^2-b^3+1 divide 
mdc(a^2,(1-b^3)^2)=d^2, ou seja, d(2kb^2+u) divide d^2, e logo 2kb^2+u divide 
d. Portanto, tambem temos que 2kb^2+u divide b(2kb^2+u)+2kud=ub+2k. Temos agora 
dois casos:
   i)d>=kb^2. Entao |u|=|(1-b^3)/d| < b^3/(kb^2)=b/k. Nesse caso, 
|2kb^2+u|>=2kb^2-|u| > 2kb^2-b/k, enquanto |ub+2k| < b^2/k+2k. Como b>=2, 2kb^2-
b/k=kb^2+b(kb-1/k)>=b^2/k+2(2k-1/k)>=b^2/k+2k, donde |2kb^2+u| > |ub+2k|, e 
portanto devemos ter ub+2k=0, donde b(1-b^3)+2a=dub+2dk=0, e logo a=b(b^3-1)/2.
Isso nos da' a^2/(2ab^2-b^3+1)=b^2/4, que e' inteiro quando b e' par. Isso nos 
da' (todas) as solucoes nesse caso i): {(b(b^3-1)/2,b), b par}.
   ii)d < kb^2. Aqui, como 2kb^2+u divide d, devemos ter kb^2>|d|>=|2kb^2+u|>=
>=2kb^2-|u|, donde |u|>kb^2. Assim, temos ab^2=kb^2d < |ud|=b^3-1 < b^3, donde 
a < b, ou seja, b>=a+1. Como 2ab^2-b^3+1 e' congruente a 1 modulo b^2, ou 
2ab^2-b^3+1=1 ou |2ab^2-b^3+1|>=|1-b^2|=b^2-1>=(a+1)^2-1=a^2+2a > a^2, mas, 
nesse caso, 2ab^2-b^3+1 nao pode dividir a^2. Assim, devemos ter 2ab^2-b^3+1=1, 
donde 2ab^2=b^3, e b=2a. Isso nos da' as solucoes do caso ii): {(a,2a)}.

   Conclusao: as solucoes do problema sao dadas por: {(a,1), a inteiro positivo 
par}, {(b(b^3-1)/2,b), b inteiro positivo par} ou {(a,2a), a inteiro positivo}.
   Abracos,
            Gugu

Quoting Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com>:

> Ola Cicero e demais
> colegas desta lista ... OBM-L,
> 
> A sua ideia e uma observacao valida, mas parece-me que o problema exige um 
> tratamento maior... Com efeito, se em :
> 
> F(a,b) = a^2/(2ab^2  - b^3 + 1)
> 
> fizermos a^2 >= 2ab^2 - b^3 + 1 e olharmos para esta desigualdade como uma 
> ineguacao do 2 grau em "a", teremos UMA CONDICAO NECESSARIA para que F(a,b)
> 
> seja um inteiro, entretanto, esta condicao nao e SUFICIENTE, pois numa 
> fracao P/Q podemos ter P >= Q e, no entanto, P/Q nao ser inteiro. Por 
> exemplo : 8/5. Todavia, e muito bom que voce pense na questao. E todos os 
> estudantes, sobretudo os olimpicos, devem seguir o seu exemplo.
> 
> Vou te dar uma linha de pensamento para voce explorar.
> 
> Vamos colocar a funcao F(a,b) da seguinte forma :
> 
> F(a,b) = a^2 / [ (2a - b)*b^2 + 1 ]. Fazendo  G(a,b) = 2a - b, segue que :
> F(a,b) = a^2 / [ G(a,b)*b^2 + 1 ]
> 
> PARA TODO "i" inteiro, a equacao G(a,b)=i   <=>   2a - b = i tem uma 
> infinidade de solucoes inteiras, pois MDC(2,-1) = 1 divide "i", qualquer que
> 
> seja "i". Mais que isso, para todo "i", dado  que
> (a,b)=(0,- i) e uma solucao particular, TODAS as solucoes de G(a,b) = i 
> serao da forma :
> 
> a = - t,  b= - i - 2t , t um inteiro qualquer
> 
> Conforme voce deve saber do estudo da equacao diofantina AX + BY = C.
> 
> E importante observar que procedendo assim EXAURIMOS TODAS AS POSSIVEIS 
> SOLUCOES, pois, qualquer que sejam os inteiros "a" e "b" imaginaveis, 2a - b
> 
> e tambem um inteiro, isto e, existe um inteiro "i" tal que 2a - b = i  e, 
> consequentemente, os inteiros "a" e "b" que imaginamos pertencerao a alguma
> 
> das infinitas equacoes 2a - b = i. E igualmente importante observar que "i"
> 
> e diferente de "k" entao os cnjuntos solucoes de 2a - b = i e de 2a - b= k 
> sao disjuntos, pois as retas "b = 2a - i" e
> "b=2a - k" sao paralelas, se "i" for diferente de "k".
> 
> Bom, fixado o que eu disse acima, seja 2a - b = i. Da infinidade de pares 
> (a,b) que satisfazem a esta equacao, procuramos aqueles para os quais :
> 
> a^2/(i*b^2 + 1) = j ,  j um inteiro.
> 
> Vamos colocar esta equacao assim :
> 
> a^2 = i*j*b^2 + j   <=>  a^2 - (i*j)*b^2 = j
> 
> E entao ? Esta reconhecendo a equacao acima ? Creio que sim. Afinal, ela e 
> famosissima : E a conhecidissima EQUACAO DE  PELL !
> 
> Bom, Voce deve conhecer os fatos basicos sobre a equacao de Pell. E so 
> concatenar inteligentemente o que voce sabe que a solucao sai serena e 
> tranquila. E aqui eu te deixo so, pra voce continuar ...
> 
> 
> ABRE PARENTESES
> 
> O estudo das equacoes diofantinas, da EQUACAO DE PELL em particular, e um 
> dos acontecimentos mais emocionantes na vida de um estudante de Matematica.
> 
> Voce vai ficando chateado de nao encontrar ideias novas e, de repente, se 
> defronta com esta equacao, que traz novidades e surpresas impares, que em 
> muito se afastam da mediocridade e rotina de outros temas. Esta equacao e 
> quase um revigorante intelectual, que devemos ingerir periodicamente.
> 
> Eu percebi que a prova da infinidade de solucoes, dada uma solucao 
> particular, e forcada. E muito mais uma justificativa que uma solucao. Deve
> 
> haver uma forma de deduzir a sua infinidade de solucoes a partir de uma 
> conceituacao mais geral, mais eu ainda nao consegui encontrar isso na 
> literatura matematica, por mais que tenha forcejado neste sentido.
> 
> Foi sem duvida uma descoberta notavel, mas eu sinto que neste mar existe 
> muito mais coisas a serem descobertas. Uma prova indireta disso e a equacao
> 
> de Euler : a^3 = b^2 + 2. Ela tem uma unica solucao inteira e resultou de um
> 
> trabalho do Euler sobre um problema proposto pelo Fermat.
> 
> Bom, eu vou ficando por aqui senao vou escrever muito e o trabalho me chama
> 
> e os sistemas precisao ser concluidos. Mas o que eu queria dizer e que esse
> 
> tema e facisnante e que todo Matematico Serio deveria trata-lo com carinho e
> 
> devocao.
> 
> FECHA PARENTESES
> 
> Um Abraco a Todos
> Paulo Santa Rita
> 4,2031,160703
> 
> 
> 
> 
> >From: ciceroth@zipmail.com.br
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >Subject: [obm-l] IMO
> >Date: Wed, 16 Jul 2003 18:00:24 -0300
> >
> >
> >
> >Olá galera,
> >
> >O Problema 4 realmente é muito simples, alguns conhecimentos de reta de
> >simpson e lei dos senos resolvem o problema. Mas estou agora pensando no
> >2, tive a´idéia seguinte:
> >
> >a^2 => 2ab^2 - b^3 + 1, e dai ver que é uma parábola em a e o delta tem
> >que ser < 0. Será uma boa idéia?? Alguém fez o problema 2??
> >Cícero
> >
> >
> >
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