Re: [obm-l] IMO

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Cicero e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

A sua ideia e uma observacao valida, mas parece-me que o problema exige um 
tratamento maior... Com efeito, se em :

F(a,b) = a^2/(2ab^2  - b^3 + 1)

fizermos a^2 >= 2ab^2 - b^3 + 1 e olharmos para esta desigualdade como uma 
ineguacao do 2 grau em "a", teremos UMA CONDICAO NECESSARIA para que F(a,b) 
seja um inteiro, entretanto, esta condicao nao e SUFICIENTE, pois numa 
fracao P/Q podemos ter P >= Q e, no entanto, P/Q nao ser inteiro. Por 
exemplo : 8/5. Todavia, e muito bom que voce pense na questao. E todos os 
estudantes, sobretudo os olimpicos, devem seguir o seu exemplo.

Vou te dar uma linha de pensamento para voce explorar.

Vamos colocar a funcao F(a,b) da seguinte forma :

F(a,b) = a^2 / [ (2a - b)*b^2 + 1 ]. Fazendo  G(a,b) = 2a - b, segue que :
F(a,b) = a^2 / [ G(a,b)*b^2 + 1 ]

PARA TODO "i" inteiro, a equacao G(a,b)=i   <=>   2a - b = i tem uma 
infinidade de solucoes inteiras, pois MDC(2,-1) = 1 divide "i", qualquer que 
seja "i". Mais que isso, para todo "i", dado  que
(a,b)=(0,- i) e uma solucao particular, TODAS as solucoes de G(a,b) = i 
serao da forma :

a = - t,  b= - i - 2t , t um inteiro qualquer

Conforme voce deve saber do estudo da equacao diofantina AX + BY = C.

E importante observar que procedendo assim EXAURIMOS TODAS AS POSSIVEIS 
SOLUCOES, pois, qualquer que sejam os inteiros "a" e "b" imaginaveis, 2a - b 
e tambem um inteiro, isto e, existe um inteiro "i" tal que 2a - b = i  e, 
consequentemente, os inteiros "a" e "b" que imaginamos pertencerao a alguma 
das infinitas equacoes 2a - b = i. E igualmente importante observar que "i" 
e diferente de "k" entao os cnjuntos solucoes de 2a - b = i e de 2a - b= k 
sao disjuntos, pois as retas "b = 2a - i" e
"b=2a - k" sao paralelas, se "i" for diferente de "k".

Bom, fixado o que eu disse acima, seja 2a - b = i. Da infinidade de pares 
(a,b) que satisfazem a esta equacao, procuramos aqueles para os quais :

a^2/(i*b^2 + 1) = j ,  j um inteiro.

Vamos colocar esta equacao assim :

a^2 = i*j*b^2 + j   <=>  a^2 - (i*j)*b^2 = j

E entao ? Esta reconhecendo a equacao acima ? Creio que sim. Afinal, ela e 
famosissima : E a conhecidissima EQUACAO DE  PELL !

Bom, Voce deve conhecer os fatos basicos sobre a equacao de Pell. E so 
concatenar inteligentemente o que voce sabe que a solucao sai serena e 
tranquila. E aqui eu te deixo so, pra voce continuar ...


ABRE PARENTESES

O estudo das equacoes diofantinas, da EQUACAO DE PELL em particular, e um 
dos acontecimentos mais emocionantes na vida de um estudante de Matematica. 
Voce vai ficando chateado de nao encontrar ideias novas e, de repente, se 
defronta com esta equacao, que traz novidades e surpresas impares, que em 
muito se afastam da mediocridade e rotina de outros temas. Esta equacao e 
quase um revigorante intelectual, que devemos ingerir periodicamente.

Eu percebi que a prova da infinidade de solucoes, dada uma solucao 
particular, e forcada. E muito mais uma justificativa que uma solucao. Deve 
haver uma forma de deduzir a sua infinidade de solucoes a partir de uma 
conceituacao mais geral, mais eu ainda nao consegui encontrar isso na 
literatura matematica, por mais que tenha forcejado neste sentido.

Foi sem duvida uma descoberta notavel, mas eu sinto que neste mar existe 
muito mais coisas a serem descobertas. Uma prova indireta disso e a equacao 
de Euler : a^3 = b^2 + 2. Ela tem uma unica solucao inteira e resultou de um 
trabalho do Euler sobre um problema proposto pelo Fermat.

Bom, eu vou ficando por aqui senao vou escrever muito e o trabalho me chama 
e os sistemas precisao ser concluidos. Mas o que eu queria dizer e que esse 
tema e facisnante e que todo Matematico Serio deveria trata-lo com carinho e 
devocao.

FECHA PARENTESES

Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
4,2031,160703




>From: ciceroth@zipmail.com.br
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] IMO
>Date: Wed, 16 Jul 2003 18:00:24 -0300
>
>
>
>Olá galera,
>
>O Problema 4 realmente é muito simples, alguns conhecimentos de reta de
>simpson e lei dos senos resolvem o problema. Mas estou agora pensando no
>2, tive a´idéia seguinte:
>
>a^2 => 2ab^2 - b^3 + 1, e dai ver que é uma parábola em a e o delta tem
>que ser < 0. Será uma boa idéia?? Alguém fez o problema 2??
>Cícero
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