[obm-l] Re: [obm-l] Análise Real

[bmat@xxxxxxxxxxxxxx]

Manuel,
Boa tarde.

Muito boa a solução para este problema, mas eu não conheço o teorema de
Baire, nem lembro muito bem o que era um espaço de Baire. Mas o pior é que
este problema tinha um "corolário": conclua que Q não é a reunião enumerável
de abertos... então eu suponho que deve haver outro meio para resolver este
problema. Para ser mais completo, deixo agora a referência:
Curso de Análise, vol 1 - Elon Lages Lima
Capítulo 5 (Topologia da Reta) - exercício 55

Muito obrigado pela atenção,
Bernardo

-- Mensagem original --

>Bernardo,
>
>  Boa tarde,
>
>> 
>> Prove que R - Q (o conjunto dos números Irracionais) não pode ser escrito
>> como uma união enumerável de conjuntos fechados.
>> 
> 
>  Se entendi o seu problema, ele pede para provar que, com a topologia
>usual de R, nao existem subconjuntos fechados de R, F_1, F_2, ..., F_n,
>..., tais que a reuniao dos F_n seja R-Q, certo?
>
>  Se for isso, suponha por abusrdo, que isso e' falso e seja, para cada
n,
>O_n = R - F_n.
>
>  O_n e' aberto, qualquer que seja n, e e' facil ver que a interseccao
dos
>O_n e' Q.
>
>  Como Q e' denso em R, e' claro que cada O_n e' denso em R.
>
>  Entao, como R e' um espaco de Baire (por ser completo), segue-se do
>teorema de Baire que a interseccao dos O_n e' um espaco de Baire. 
>
>  Mas isto e' um absurdo, pois Q e' enumeravel, e portanto e' a reuniao
>enumeravel de fechados sem interior nao podendo assim ser de Baire.
>
>Manuel Garcia
>
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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