Re: [obm-l] Análise Real

[Manuel Valentim Pera <mane@xxxxxxxxxx>]

Bernardo,

  Boa tarde,

> 
> Prove que R - Q (o conjunto dos números Irracionais) não pode ser escrito
> como uma união enumerável de conjuntos fechados.
> 
 
  Se entendi o seu problema, ele pede para provar que, com a topologia
usual de R, nao existem subconjuntos fechados de R, F_1, F_2, ..., F_n,
..., tais que a reuniao dos F_n seja R-Q, certo?

  Se for isso, suponha por abusrdo, que isso e' falso e seja, para cada n,
O_n = R - F_n.

  O_n e' aberto, qualquer que seja n, e e' facil ver que a interseccao dos
O_n e' Q.

  Como Q e' denso em R, e' claro que cada O_n e' denso em R.

  Entao, como R e' um espaco de Baire (por ser completo), segue-se do
teorema de Baire que a interseccao dos O_n e' um espaco de Baire. 

  Mas isto e' um absurdo, pois Q e' enumeravel, e portanto e' a reuniao
enumeravel de fechados sem interior nao podendo assim ser de Baire.

Manuel Garcia


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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