Re: [obm-l] Nenhuma ajuda mesmo: Outro problema

[gugu@xxxxxxx]

    Cara Alininha,
   Podemos provar isso por contradicao: se T nao e' continua, existe uma 
 sequencia de vetores v_n em X com ||v_n||=1 e ||T(v_n)||>=4^n. Existe tambem, 
 por Hahn-Banach, para cada n>=1 um funcional linear f_n em Y* com ||f_n||=1 tal 
 que ||f_n(T(v_n))||=||T(v_n)||>=4^n, e, para n>=2, podemos escolher esse f_n de 
 modo que f_n(T(v_n)) tenha o mesmo sinal que soma(k=1 a n-1)(f_k(T(v_n))/3^k) 
 (escolhemos no inicio todos os v_n e ja' escolhemos os f_k para 1<=k<=n-1). 
 Agora consideramos y*=soma(k=1 a infinito)((1/3^k).f_k). Temos ||y*||<= 
 <=soma(k=1 a infinito)(1/3^k)=1/2, logo y* pertence a Y*. Vamos ver que 
 y*(T(x)):X->R nao e' continua: para isso vamos estimar |y*(T(v_n))|. Como 
 f_n(T(v_n)) tem o mesmo sinal que soma(k=1 a n-1)||f_n(T(v_n))||, temos 
 ||soma(k=1 a n)(f_k(T(v_n))/3^k)||>=||f_n(T(v_n))||/3^n. Por outro lado, para 
 cada k, como ||f_k||=1, temos ||f_k(T(v_n))||<=||T(v_n)||, donde 
 ||soma(k=n+1 a infinito)(f_k(T(v_n))/3^k)||<= 
 <= ||T(v_n)||.soma(k=n+1 a infinito)(1/3^k) = ||T(v_n)||/(2.3^n), donde 
 |y*(T(v_n))|>= 
 >=||soma(k=1 a n)(f_k(T(v_n))/3^k)||-||soma(k=n+1 a
infinito)(f_k(T(v_n))/3^k)|| 
 >= ||f_n(T(v_n))||/3^n-||f_n(T(v_n))||/(2.3^n)=||f_n(T(v_n))||/(2.3^n)>= 
 >=4^n/(2.3^n)=((4/3)^n)/2, pois ||f_n(T(v_n))||>=4^n. Portanto, como 
 lim(n->infinito)(((4/3)^n)/2)=infinito, segue que 
 lim(n->infinito)(|y*(T(v_n))|)=infinito, e, logo, como ||v_n||=1 para todo n, 
 temos que y*(T(x)):X->R nao e' limitada, e portanto nao e' continua. 

   Abracos,
            Gugu

Quoting Alininha <alininha1980@bol.com.br>:

> (...)
> 
> Aproveito para perguntar um outro problema que acredito 
> seja bem simples também.
> 
> Seja T:X -> Y uma aplicação linear ( X é Banach e Y é 
> normado) e Y* o dual de Y. Mostrar que se 
> y*(T(x)):X -> R é contínua para cada y* pertencente a Y* 
> então T é contínua.
> 
> Mais uma vez Gugu muito obrigada!
> 
> 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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