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[obm-l] Re: [obm-l] f(f(x))_=_x^2_-_1996_�_imposs�vel



Acho que consegui fazer. Algumas contas s�o muio extensas em eu acabei designando alguns n�meros reais cheios de ra�zes quadradas de inteiros por x1, x2, x3 e x4.
 
Procure pontos fixos, ou seja, valores de x de modo que f(x) = x   =>   f(f(x)) = f(x) = x.
Temos assim a equa��o  x^2 - 1996 = x, onde temos duas ra�zes, digamos x1 e x2, com x1 diferente de x2.
Evidentemente temos que  x1 + x2 = 1   e   x1.x2 = - 1996.
Repare que f(f(f(f(x)))) = f(f(x^2 - 1996)) = (x^2 - 1996)^2 - 1996
Agora procuremos pontos fixos de de f(f(f(f(x)))), ou seja, quando que f(f(f(f(x)))) = x
Temos a seguinte equa��o:  (x^2 - 1996)^2 - 1996 = x   =>   x^4 - 4992x^2 - x + 1996^2 - 1996 = 0
onde temos quatro solu��es: x1 e x2 (que j� s�o pontos fixos de f(x)) e x3 e x4, distintos entre si e distintos de x1 e x2.
 
A sa�da da quest�o � observar que  x3 + x4 = - 1   e   x3.x4 = - 1995   =>   x3(- 1 - x3) = - 1995   =>   x3 = 1995 - x3^2   =>   - 1 - x4 = 1995 - x3^2   =>
x4 = x3^2 - 1996   e   x3 = x4^2 - 1996
 
Por outro lado:  f(f(x3)) = x3^2 - 1996 = x4   e   f(f(x4)) = x4^2 - 1996 = x3
Sabemos que  f(f(f(x))) = f(x^2 - 2) = f(x)^2 - 1996
Assim:  f(f(f(x3))) = f(x4) = f(x3)^2 - 1996   e   f(f(f(x4))) = f(x3) = f(x4)^2 - 1996
Substituindo temos que:  f(x3) = [f(x3)^2 - 1996]^2 - 1996   =>   f(x3) = x1, x2, x3, ou x4
Se f(x3) = x1 ou x2   ter�amos que f(f(x3)) = f(x1 ou x2) = x1 ou x2,   que � um absurso pois f(f(x3)) = x4
Se f(x3) = x3 ter�amos que x3 � ponto fixo de f(x), que � falso pois os �nicos pontos fixos de f(x) s�o x1 e x2.
Portanto, f(x3) = x4   =>   f(f(x3)) = f(x4)   =>   x4 = f(x4)   que � uma contradi��o pois x4 n�o � ponto fixo de f(x).
 
Assim, n�o existe f(x) que satisfa�a f(f(x)) = x^2 - 1996.
 
 
Bem, acho que fiz certo, mas agradeceria se algu�m pudesse fazer alguns coment�rios sobre certas passagens desta solu��o, posso ter errado alguma coisa...
 
 
At� mais,
Marcelo Rufino de Oliveira
 
----- Original Message -----
From: Bruno Lima
Sent: Friday, June 06, 2003 6:32 PM
Subject: Re: [obm-l] f(f(x))_=_x^2_-_1996_�_imposs�vel

Na verdade n�o estou ajudando em nada, mas j� procurou por pontos fixos? Pontos do tipo f(x)=x

Cl�udio_(Pr�tica) <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:
Caros colegas:
 
Estou com dificuldades num problema que caiu no Torneio das Cidades de 1996:
 
Provar que n�o existe nenhuma fun��o f: R -> R tal que:
f(f(x)) = x^2 - 1996.
 
Agrade�o qualquer ajuda.
 
Um abra�o,
Claudio.



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