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Acho que consegui fazer. Algumas contas são muio
extensas em eu acabei designando alguns números reais cheios de raízes quadradas
de inteiros por x1, x2, x3 e x4.
Procure pontos fixos, ou seja, valores de x de modo
que f(x) = x => f(f(x)) = f(x) = x.
Temos assim a equação x^2 - 1996 = x,
onde temos duas raízes, digamos x1 e x2, com x1 diferente de x2.
Evidentemente temos que x1 + x2 =
1 e x1.x2 = - 1996.
Repare que f(f(f(f(x)))) = f(f(x^2 - 1996)) =
(x^2 - 1996)^2 - 1996
Agora procuremos pontos fixos de de f(f(f(f(x)))),
ou seja, quando que f(f(f(f(x)))) = x
Temos a seguinte equação: (x^2 - 1996)^2 -
1996 = x => x^4 - 4992x^2 - x + 1996^2 - 1996 =
0
onde temos quatro soluções: x1 e x2 (que já são
pontos fixos de f(x)) e x3 e x4, distintos entre si e distintos de x1 e
x2.
A saída da questão é observar que x3 + x4 = -
1 e x3.x4 = - 1995 => x3(- 1
- x3) = - 1995 => x3 = 1995 - x3^2
=> - 1 - x4 = 1995 - x3^2
=>
x4 = x3^2 - 1996 e x3 =
x4^2 - 1996
Por outro lado: f(f(x3)) = x3^2 - 1996 =
x4 e f(f(x4)) = x4^2 - 1996 = x3
Sabemos que f(f(f(x))) = f(x^2 - 2) = f(x)^2
- 1996
Assim: f(f(f(x3))) = f(x4) = f(x3)^2
- 1996 e f(f(f(x4))) = f(x3) = f(x4)^2 -
1996
Substituindo temos que: f(x3) = [f(x3)^2 -
1996]^2 - 1996 => f(x3) = x1, x2, x3, ou
x4
Se f(x3) = x1 ou x2 teríamos que
f(f(x3)) = f(x1 ou x2) = x1 ou x2, que é um absurso pois f(f(x3)) =
x4
Se f(x3) = x3 teríamos que x3 é ponto fixo de f(x),
que é falso pois os únicos pontos fixos de f(x) são x1 e x2.
Portanto, f(x3) = x4 =>
f(f(x3)) = f(x4) => x4 = f(x4) que é uma
contradição pois x4 não é ponto fixo de f(x).
Assim, não existe f(x) que satisfaça f(f(x)) = x^2
- 1996.
Bem, acho que fiz certo, mas agradeceria se alguém
pudesse fazer alguns comentários sobre certas passagens desta solução,
posso ter errado alguma coisa...
Até mais,
Marcelo Rufino de Oliveira
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