Re: [obm-l] Primos numa PA

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

HelpEstamos analisando a congruência de primos mod m.
Suponha que o conjunto de primos que são congruentes a b mod m é finito e
seja P = {p1, ..., p[k]}  tal conjunto, e além disso P != Ø.

note que mdc(m, b) = 1 [aqui usamos a hipótese da existência de am + b =
primo]

tome Q como um conjunto gigante de todos os q primeiros primos, esse
conjunto tem primos bem maiores do que p[k], elimine os primos de Q que são
divisores de m + b. Nenhum desses primos eliminados divide m, pois se
dividisse, ele também dividiria b, contrariando mdc(m, b) = 1.
temos dentro de Q então, todos os divisores de m...

tome agora o número
n = produtório {t, t pertencendo a Q - {primos divisores de m}} + m + b
o número n é primo (eu não vou formalizar agora, mas dá pra ver que isso é
verdadeiro)
além disso:
n ~ b (mod m)

como existem primos em Q bem maiores do que primos em P, encontramos um
primo que deveria pertencer a P mas não está lá, e aí chegamos a uma
contradição.

[ ]'s


----- Original Message ----- 
From: Cláudio (Prática)
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, June 06, 2003 4:12 PM
Subject: [obm-l] Primos numa PA


Caros colegas da lista:

Aqui vai um problema que eu vi num livro de teoria dos números a nível
elementar e que continua em aberto aqui na lista:

Prove que:
Se:
a e b são inteiros com mdc(a,b) = 1
e
existe um primo da forma am + b (m inteiro)
Então:
existem infinitos primos desta forma.

Naturalmente a conclusão é o famoso teorema de Dirichlet dobre primos numa
PA, cuja demonstração é bem difícil. No entanto, dado o nível do livro onde
eu vi o problema, não creio que a solução seja muito sofisticada.

Qualquer ajuda será grandemente apreciada.

Um abraço,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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