Re: [Re: [obm-l] Problema de Analise]

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxx>]

Oi Duda
Obrigado pela mensagem. Vou analisar depois,pois estou no trabalho.
Eu nao estou fazendo faculdade de matematica, soui um engenheiro que curte
muito mat e estudo sempre que posso. Bem que eu queria ter tempo para estudar
mais.
Um abraco
Artur

"Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@terra.com.br> wrote:
> From: "Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@terra.com.br>
> > Oi Artur.
> >
> > Vamos analisar o seguinte problema.
> >
> > Seja M um espaço métrico qualquer que satisfaz a propriedade: se f:M->R
é
> > uma função contínua então é limitada. Vamos mostrar que M, mesmo que
não
> > seja de dimensão finita, é totalmente limitado, por contra-posição.
> >
> > Suponhamos que M não seja totalmente limitado. Existe um r>0 tal que
não
> se
> > pode cobrir M por finitas bolas fechadas de raio r. Podemos encontrar uma
> > seqüência de bolas B[x_n, r] tal que x_n não pertence a nenhuma das
bolas
> > anteriores. Em outros termos, podemos escolher uma seqüência (x_n) em M
> tal
> > que para todo n <> m temos d(x_n, x_m) > r.
> >
> > Agora vamos definir uma função f:M->R contínua que não é limitada.
> Definimos
> > f(x) = inf{d(x,x_n) : n natural}. Precisamos mostrar que ela é contínua.
A
> > função pode ser definida também como f(x) = d(x, S) onde S = {x_n : n
> > natural}. É um exercício clássico ver que f não só é contínua como
também
> é
> > Lipschitz.
> 
> Oi Artur.
> 
> Aqui cometi um erro. Essa função não é ilimitada. Mas acho que dá para
> corrigir. Só que não vou ver os detalhes agora, pois vai faltar mostrar
que
> ela é contínua, o que me parece intuitivamente muito claro.
> 
> A gente encontra essa seqüência (x_n). Aí tomamos bolas de raio 0 < r' <
r/2
> centradas em cada um dos x_n. Essas bolas não se interceptam, pela
> desigualdade do triângulo é fácil de ver isso. Então tomamos na bola
B[x_n,
> r'] a função assumindo, num ponto x, o valor n * ( r' - d(x,x_n)). E fora
> das bolas a função vale zero - se existir algo fora das bolas. Em cada
bola,
> me parece que a função vai ser contínua, e portanto contínua em todo M.
Há
> que se ver os detalhes.
> 
> Vou pensar mais sobre o problema.
> 
> Abraço,
> Duda.
> 
> >
> > Portanto temos demonstrado o teorema, pois se M não é totalmente
limitado
> > existe uma função contínua f:M->R que não é limitada.
> >
> > Claramente esse resultado implica, com você observou, que se toda
função
> > f:M->R^n contínua é limitada, então M é totalmente limitado. Será
que
> > podemos assegurar que M seja compacto? Para isso temos de garantir que M
> > também seja completo.
> >
> > Suponhamos por hipótese que M é totalmente limitado mas não completo
> > (portanto não compacto). Então existe uma seqüência (x_n) em M de
Cauchy
> mas
> > não convergente. Considere c(M) o completamente de M e z = lim x_n em
> c(M).
> > Podemos definir uma função f:c(M)\{z}->R por f(x) = 1/d(x, z), essa
função
> é
> > contínua. Agora restringimo-la para M, e ainda teremos uma função
> contínua.
> > Mas f(x_n) torna-se uma seqüência ilimitada. Portanto f:M->R é
contínua
> mas
> > ilimitada.
> >
> > Por fim, podemos assegurar que se toda f:M->R contínua sai limitada,
então
> M
> > é um espaço métrico compacto.
> >
> > Como basta que para toda f contínua f(E) seja limitada para tirarmos que
E
> é
> > compacto, sua segunda pergunta também está respondida afirmativamente,
> pois
> > ser totalmente limitado é mais forte do que ser limitado.
> >
> > Espero ter esclarecido a questão com resultados corretos. Eu não os
> > conhecia, podem estar errados.
> >
> > Você está fazendo faculdade de matemática? Sempre suas dúvidas - já
faz
> > tempo isso - estão em paralelo com meus estudos, como se estivéssemos
> > passando pelas mesmas cadeiras juntos. Gosto das suas dúvidas. Vou
começar
> a
> > enviar mais problemas universitários para a lista, acho que muitos de
nós
> > estamos já na universidade.
> >
> > Abraço,
> > Duda.
> >
> > From: "Artur Costa Steiner" <artur_steiner@usa.net>
> > > Ola a todos!
> > > Hah poucos dias enviei para a lista o seguinte problema de analise:
> > > Seja E um subconjunto de R^n tal que toda funcao f:E=>R^m (m fixo),
> > continua
> > > em E, eh limitada. Entao, E eh compacto.
> > > Minha demonstracao eh a seguinte, talvez alguem tenha uma outra:
> > >
> > > Inicialmente, verificamos que toda funcao de R^n em R^m eh do tipo
> > > (f_1,...f_m) onde f_1,...f_m sao funcoes de R^n em R. Eh imediato que f
> eh
> > > limitada se e somente se todas as f_i o forem. Logo, para demonstrarmos
> a
> > > proposicao, eh suficiente considerarmos funcoes de E em R. Ou seja, o
> > > enunciado original do teorema eh inteiramente equivalente aaquele
obtido
> > > substituindo-se f:E=>R^m por f:E=>R, qualquer que seja m. Baseados
> nisto,
> > > vamos mostrar que E eh limitado eh fechado, condicao que, pelo Teorema
> de
> > > Heine Borel, garante que E seja compacto.
> > >
> > > Se E nao for limitado, eh entao possivel, mantendo x em E, fazer com
que
> > ||x||
> > > torne-se arbitrariamente grande. Dado que x = (x_1,..x_n), eh entao
> > possivel
> > > fazer com que para pelo menos uma das componentes de x, digamos x_i, o
> > valor
> > > de |x_i| torne-se arbitrariamente grande. Definindo-se f:E=>R por f(x)
=
> > > |x_i|, obtemos uma funcao continua e ilimitada em E, o que contraria a
> > > hipotese basica assumida sobre E. Desta contradicao, segue-se que E eh
> > > limitado.
> > >
> > > Suponhamos agora que E nao seja fechado. Feita esta hipotese, existe
> entao
> > um
> > > elemto p em R^n que eh ponto de acumulacao de E mas nao pertence a E.
> > > Definamos g:E=> R por g(x) =1/||x-p||. Como p nao pertence a E, g eh
> > continua
> > > em E. Das propriedades de pontos de acumulacao, segue-se que, escolhido
> > > arbitrariamente M>0, existe sempre x em E tal que ||x-p||<1/M, o que
> > implica
> > > que f(x)>M. Como M eh arbitrario, concluimos que f eh continua e
> ilimitada
> > em
> > > E, contrariando a hipotese basica admitida. Logo, E eh fechado.
> > >
> > > Temos portanto que E eh limitado eh fechado, logo compacto.
> > > Eu tenho uma duvida, serah que existe uma condicao semelhante valida em
> > > espacos metricos gerais? Parece-me que nao dah para generalizar, mas
nao
> > estou
> > > certo. Se E eh um subconjunto de um espaco metrico X e apresenta a
> > propriedade
> > > de que toda funcao continua de E sobre o espaco metrico Y eh limitada,
> > entao E
> > > eh compacto? Acho que nao. Mas talvez seja verdade  (vou tentar
> analisar)
> > se
> > > admitirmos que, para toda funcao f uniformemente continua em E, f seja
> > > totalmente limitada (isto eh, f(E) eh totalmente limitado). Parece um
> > problema
> > > para o Nicolau.
> > > Um abraco
> > > Artur
> > >
> > >
> > >
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> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > >
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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