Re: [Re: [obm-l] Problema de Analise]

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Oi Artur.

Refleti mais sobre o problema, e a luz surgiu, agora está mais claro.

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Primeiro eu vou demonstrar o seguinte:

Teorema 1. Se um espaço métrico M não é totalmente limitado, então existe
uma função f:M->R contínua e ilimitada.

A demonstração já está descrita em linhas gerais nos outros dois e-mails.
Vou reproduzi-la.

Como M é totalmente limitado, existe um r>0 e uma seqüência (x_n) de M tal
que: para todo n <> m temos d(x_n, x_m) > 2r. A idéia agora é definir a
função f:M->R por partes. Num ponto x da bola B[x_n, r] a função assume o
valor n*(r - d(x,x_n)). A função distância é Lipschitz, e como fizemos
apenas somas e multiplicações por constantes, temos que f é contínua em
B[x_n, r]. Definimos num ponto x do anel B[n, 2r] \ B[n, r], a função
valendo zero: f(x) = 0. Como ela é constante, é contínua no anel, falta
mostrar que ela é contínua na fronteira de B[n, r]. Usamos seqüências. Se
uma seqüência de pontos (z_n) converge a um ponto x do anel, essa seqüência
possui (na pior das hipóteses) duas subseqüências, uma de pontos dentro de
B[n, r] e outra de pontos no anel B[n, 2r] \ B[n, r], ambas as subseqüências
fazem f convergir a zero. Logo f é contínua em B[x_n, 2r]. Finalmente
definimos f nula em M \ União{B[x_n, r]}. A função f:M->R é contínua, pois é
contínua nas restrições f|União{B[x_n,2r]} e f| M \ União{B[x_n, r]}e na
interseção desses dois conjuntos - das restrições - ela é contínua (trata-se
dos anéis). Certamente f é ilimitada.

Teorema 2. Se M não é completo, então existe f:M->R contínua e ilimitada.

Se M não é completo, existe uma seqüência de Cauchy (x_n) que não é
convergente. Seja c(M) o completamento de M, e z = lim x_n em c(M).
Definimimos f(x) = 1/d(x, z) em f:c(M)\{z}->R, que é uma função contínua. A
restrição f|M é também contínua e ilimitada pois f(x_n) diverge.
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Posso afirmar então que se toda função contínua f:M->R é limitada então M é
compacto. De fato se M não é compacto, então (não é totalmente limitado) ou
(não é completo). Nas duas hipóteses, sabemos que existe uma função f:M->R
contínua e ilimitada, uma contradição. Logo M é compacto.

Abraço,
Duda.

Agora posso afirmar que se f:M->R é limitada para toda f contínua, então M é
compacto. Suponhamos que M é compacto e existe uma função f:M->R contínua
ilimitada

From: "Artur Costa Steiner" <artur_steiner@usa.net>
> Oi Duda
> Obrigado pela mensagem. Vou analisar depois,pois estou no trabalho.
> Eu nao estou fazendo faculdade de matematica, soui um engenheiro que curte
> muito mat e estudo sempre que posso. Bem que eu queria ter tempo para
estudar
> mais.
> Um abraco
> Artur


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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