Re: [Re: [obm-l] problema]

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxx>]

"Cláudio \(Prática\)" <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:
> Oi, Gugu:
> 
> Eu já tinha visto essa dedução de MG <= MA a partir do rearranjo mas,
apesar
> de interessante, é "mágica" demais pro meu gosto.
> 
> Eu prefiro aquela em que você vai trocando Xmin e Xmax por G e Xmin*Xmax/G
> até que todos os números fiquem iguais.
> 
> Um abraço,
> Claudio.
Eu conheco uma interessante baseada no fato de que e^x>=1+x para todo real x,
havendo igualdade sse x=0. Se x1, ...xn sao reais positivos, definamos a e g
como suas medias aritmetica e geometrica. Para cada i=1,...n definamos ri =
(xi-a)/a = xi/a -1. Temos entao que soma dos xi eh nula. Para cada i temos que
e^ri>=1+ri = xi/a, havendo igualdade sse ri=0 <==>xi=a. Como os dois membros
sao positivos, multiplicando membro a membro as n desigualdades obtemos
e^(soma dos ri) = e^0 = 1 >= Produto (xi/a, i=1,n) = [Produto(xi, i=1, n)]/a^n
= (g/a)^n. Logo, g<=a, havendo igualdade se e somente se todos os ri=0, ou
seja  sse x1=...xn. 
Artur


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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