Re: [obm-l] numeros primos

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Caro Rafael,
   Tem uma fatoracao que e' assim: x^4+4.y^4=(x^2+2.y^2)^2-(2xy)^2=
=(x^2+2xy+2.y^2)(x^2-2xy+2.y^2). No nosso caso, sendo n impar, n=2k+1,
temos n^4+4^n=n^4+4.(2^k)^4=(n^2+2^(k+1).n+2^(2k+1))(n^2-2^(k+1).n+2^(2k+1)),
que e' sempre composto se k>=1.
   Abracos,
            Gugu

>
>Oi Pessoal!
>
>O número de valores de n para os quais n^4 + 4^n é um
>número primo é:
>a)1    b)2    c)3    d)4    e)5
>
>Eu acho que quase resolvi a questão, mas ainda falta
>uma coisa. Eu fui usar regras de divisibilidade e
>potências. Sabendo que qualquer número elevado à
>quarta sempre termina em 0, 1, 5 ou 6 e que 4 elevado
>a qualquer potência sempre termina em 4 (expoente
>ímpar) ou 6 (expoente par), pude ir fazendo algumas
>contas.
>
>Como n não pode ser par senão n^4 + 4^n é par, só
>poderia ser um número terminado em 1, 3, 5, 7 ou 9.
>Mas no caso de n terminar com 1, 3, 7 ou 9, a soma n^4
>+ 4^n termina em 5 então não é primo, a não ser no
>caso n = 1:
>n^4 + 4^n = 5
>
>Esse foi o único caso que achei. Mas não consegui
>provar que para os números terminados em 5 a soma n^4
>+ 4^n não é primo:
>5^4 + 4^5 = 1649 = 17.97
>
>E para o próximo caso, n = 15 já fica difícil ficar
>fazendo as contas no braço.
>
>Se alguém tiver outra idéia para resolver essa questão
>agradeceria. Principalmente se não tivesse nada muito
>elaborado sobre congruências para poder explicar para
>um aluno do segundo grau.
>
>Abraços,
>
>Rafael.
>
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