Re: [obm-l] Função Composta

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Renatinha:

Veja meus comentarios no corpo da sua mensagem.


on 04.06.03 22:31, renatinha15a at renatinha15a@bol.com.br wrote:

> olá pessoal, estou com uma dúvida conceitual sobre
> fuções compostas. É bem boba, mas pesquisei em vários
> livros e não encontrei a resposta. Estarei grata por
> qualquer esclarecimento.
> 
> Definição de função composta:
> "Dadas as funções f de A em B, e g de B em C, chama-se
> função composta de f e g a função:
> (gof): A -> C, tal que (gof)(x) = g(f(x))"
> <<dúvida "preliminar">>
> Gostaria de saber se existe algum critério para o "g"
> vir primeiro que o "f(x)", ou seja, por que ele não
> definiu como "f(g(x))"?

Observe que:
g leva B em C;
f leva A em B.
Para um dado elemento x de B, f(g(x)) soh estaria definido se g(x) (que
pertence a C) tambem pertencesse a A, dominio de f, o que nao eh sempre o
caso.

Repare que gof eh uma funcao de A em C, com uma "escala" em B, ou seja,
primeiro f leva um elemento x de A no elemento f(x) de B. Em seguida, g leva
esse elemento f(x) (de B) no elemento g(f(x)), o qual pertence a C.

> Estou questionando isso por causa de um teorema sobre
> composta de funções inversas entre si -não o entendi
> totalmente-. Estou colocando este teorema, de acordo com
> o livro, logo abaixo, e em seguida exponho minha dúvida -
> e que tem relação com a já acima citada-.
> 
> Teorema:
> Seja f uma função bijetora de A em B. Se f^-1 é a função
> inversa de f, então:
> f^(-1)of = Ia  e  fof^1 = Ib.
> Demonstração:
> "qualquer que seja" x E A,
> (f^(-1)of)(x) = f^-1(f(x)) = f^-1(y) = x
> "qualquer que seja" y E B,
> (fof^1)(y) = f(f^-1(y) = f(x) = y

> <<dúvida>>
> Se F: A -> B, então f^-1 = B -> A
> Primeiramente, decorre da definição da função composta
> que gof (g "círculo" f) só está definida quando o
> contradomínio da f é igual ao domínio da g.

Isso nao eh estritamente necessario. Basta que a imagem do conjunto A pela
funcao f (normalmente denominada f(A)) esteja contida no dominio de g.

> Portanto, conclui-se que
> f(f^-1(x)) e f^-1(f(x)) estão definidos. Mas a dúvida é:
> Em f(f^-1(x)), temos B -> B ou A -> A, a mesma pergunta
> serve para f^1(f(x)).
> 
Eh soh ver em qual conjunto comeca e em qual termina.
f leva A em B
f^(-1) leva B em A
Assim:
fof^(-1) leva um elemento x de B no elemento (fof^(-1))(x) de A, passando
pelo elemento f^(-1)(x) de B ==> Logo, fof^(-1): B -> B.

Analogamente, voce conclui que f^(-1)of: A -> A.

> []´s
> Renatinha
> 
Espero que tenha ficado claro.

Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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