Re: [obm-l] integral

[Carlos César de Araújo <cca@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Carlos Augusto,

Estritamente falando -- e espero que o seu professor venha a falar sobre
isto --, a sua pergunta não pode ser respondida até que se esclareceça o
significado de "resolver".

Para estabelecer uma analogia, considere a seguinte questão: É possível
resolver qualquer equação polinomial? Normalmente, esperaríamos "resolver"
tais equações apresentando "fórmulas" para as suas raízes. Mas o que é uma
tal "fórmula"? Se for algo como äs fórmulas clássicas para as raízes de
equações de graus 1,2,3 e 4, então não existe "fórmula" geral para graus
n>5. Este é um dos temas da Teoria de Galois, na qual o significado de
"fórmula", neste contexto, recebe uma definição rigorosa e manejável. Por
outro lado, se permitirmos "processos infinitos" tais como limites e séries,
então é possível encontrar "fórmulas" para as raízes. Assim, tudo depende do
que se entende por "fórmula". Perceba que não há nada de muito
"transcendental" aqui, já que encontramos situação semelhante quando, por
exemplo, nos pedem para "resolver" x^2=2 ANTES que sejamos introduzidos aos
números irracionais.

Analogamente, as primeiras integrais indefinidas que aprendemos a "resolver"
num primeiro curso de Cálculo são todas dadas em termos de "funções
elementares", tais como quocientes de polinômios, funções trigonométricas,
logaritmos, exponenciais e COMBINAÇÕES dessas funções (somas, produtos,
quocientes e composição). A uma certa altura, deparamo-nos com certas
integrais que escapam de tal modo à nossa argúcia que começamos a duvidar se
podem ser "resolvidas" em termos dessas mesmas funções. E é exatamente isso
o que ocorre com a sua integral! Existem alguns teoremas clássicos (século
XIX) e modernos (século XX) sobre a chamada "integração elementar" (ou
"integração em termos finitos") que nos permitem decidir, após cálculos
atordoantes (para um ser humano, mas não para um COMPUTADOR), quando a
integral de uma FUNÇÃO ELEMENTAR como a sua, sin(x)/(x+1), é ou não uma
função da mesma espécie. Mediante a substituição de variáveis u=x+1, você
verá que SE a sua integral fosse uma função elementar, então a integral mais
simples

Integrate[ sin(x)/x, x]

também o seria. Mas é fato conhecido -- embora não tanto a sua
demonstração -- que esta última integral não é elementar. Se você utilizar
as versões mais recentes do Mathematica, ou mesmo o seu integrador on-line
(http://integrals.wolfram.com/), verá que ele "resolve" essa integral, mas
num sentido algo decepcionante, pois nos apresenta uma função que é
justamente DEFINIDA com base na integral acima. Ou seja, ele nos dá uma
"expressão" como resposta, mas esta "expressão" não é uma "função elementar"
no sentido acima. Na verdade, é assim que a matemática funciona: se não
existe "solução" para uma equação, inventamos uma "razoável", domesticamo-la
e aprendemos a viver com ela. O caso x^2=2 serve novamente de exemplo.

Uma prova de que a função sin(x)/x não é primitivável elementarmente se
encontra na página 29 do seguinte artigo (que você poderá encontrar na rede
em pdf):

[*] Manuel Bronstein -- Symbolic Integration Tutorial, INRIA Sophia
Antipolis, 1998, pp. 1-35.

Neste artigo você encontrará referências bibliográficas adicionais e nomes
de algoritmos famosos para a integração (incluindo o de Risch).

Carlos César de Araújo
Matemática para Gregos & Troianos
www.gregosetroianos.mat.br
Belo Horizonte, MG

----- Original Message -----
From: "carlos augusto" <augusto_math@yahoo.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Cc: <augusto_math@yahoo.com.br>
Sent: Monday, June 02, 2003 4:04 PM
Subject: [obm-l] integral


> Sou aluno do 1º período do curso de ciência da
> computação, e não consegui responder a seguinte
> questão.
>
> Resolver a integral:
>   /
>   | Sen(x)
>   | ------ dx
>   | 1 + x
>   /
> resposta: Sen(x - Log(1 + x)) by Mathematica.
>


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================