Re: [obm-l] Problema de aneis de polinomios

[Carlos César de Araújo <cca@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Prezado Domingos,

Existem polinômios "formais" com um número infinito (enumerável) de termos!
Basta lembrar da teoria das funções geradoras (ou geratrizes), que remonta a
Laplace; basta lembrar que hoje temos os anéis A[X] e A[[X]]. Neste
contexto, PRODUTOS infinitos (enumeráveis) também podem ser tratados. Veja,
a propósito, o delicioso livreto Functiongeneratingology, de Hebert Wilf
(Academic Press, 1990) -- disponível, aliás, na página do autor em formato
pdf. Wilf mostra, entre outras coisas, as relações entre o tratamento
"clássico" (analítico) das séries de potências formais e o tratamento
"moderno" (puramente algébrico, e que não pressupõe nenhuma noção de
"convergência").

Quanto à objeção do Carlos Maçaranduba: o seu "polinômio" Product[x-w, w em
IR] não seria um contra-exemplo ao teorema clássico que você mencionou,
pois, naquele teorema, a definição de "polinômio" não cobre produtos
infinitos de formas polinomiais. E mesmo admitindo que você desse vida a
esse produto, ainda restaria a necessidade de uma DEMONSTRAÇÃO, a partir da
definição proposta, de que TODOS os COEFICIENTES desse "polinômio
não-enumerável" seriam nulos. Como se sabe, tudo o que se refere ao
"infinito" é extremamente enganador; a "intuição" aqui é insuficiente.

De qualquer modo, creio que seria interessante investigar se é realmente
possível e ÚTIL (em algum sentido não muito pragmático) formular uma teoria
geral de somas e produtos infinitos de cardinalidade arbitrárias. Que isto
não é de todo surpreendente decorre de certas abordagens nas quais se
utilizam REDES (ou filtros) em espaços topológicos para definir noções
gerais de "limite". Por exemplo, dados um espaço vetorial normado V, um
conjunto A QUALQUER, e uma função f: A ->V, a soma

Sum[f(a), a em A]

seria o vetor z em V (se existir) tal que, para todo e>0 existe um conjunto
finito F contido em A tal que se tenha

||Sum[f(a), a em X] - z||

para todo conjunto X contendo A.

Carlos César de Araújo
Matemática para Gregos & Troianos
www.gregosetroianos.mat.br
Belo Horizonte, MG

----- Original Message -----
From: "Domingos Jr." <dopikas@uol.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, June 01, 2003 6:51 PM
Subject: Re: [obm-l] Problema de aneis de polinomios


> Polinômios formais tem um número de termos finitos...
>
> O que vc quer representar poderia ser uma série de potências, no entanto,
> quando você fala de produtório em w, com w percorrendo os reais, você está
> ignorando o fato que os reais não são contáveis, ou seja, não há como
> enumerar os reais e por tanto não faz mto sentido falar em produtório
> infinito nesse caso...
>
>
> > Concordo plenamente com o que vc e Morgado disse  mas
> > esta afirmação em um corpo infinito não seria falsa já
> > que eu posso representar este polinomio como um
> > produtorio infinito (x -w) para todo w pertencente ao
> > corpo e ele não ser necessariamente o polinomio nulo??
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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