Re: [obm-l] Problema de aneis de polinomios

[Carlos César de Araújo <cca@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Carlos Maçaranduba propõe:

> Seja k um corpo infinito.Se f pertence a k[x] é tal
> que f(w) = 0 para todo elemento w pertencente a k,
> então f = 0.Mostrar por exemplo que esta propriedade é
> falha se k é finito.

Seja <K,+,*,0,1> um corpo finito com n elementos. Da própria definição de
"corpo", vê-se que <K-{0},*> é um GRUPO com n-1 elementos. Segue-se do
Teorema de Lagrange que

w em K-{0} ==> X^(n-1) = 1.

(A propósito, para K = Z/pZ, p primo, isto é o Pequeno Teorema de Fermat.)
Portanto, multiplicando por X, vem

w em K ==> X^n - X = 0.

Assim, para o polinômio f = X^n - X,  vale f(w)=0 para todo w em K. Todavia,
f é não-nulo (pois tem pelo menos dois coeficientes não-nulos, 1 e -1).

Na verdade, um fato mais fundamental se esconde em tudo isso: um polinômio
f<>0 não pode ter mais zeros do que o seu grau. Mais precisamente, lembrando
que todo corpo é um domínio, e indicando por Z(f) o conjunto dos zeros de f
(na estrutura ambiente), temos:

(T1) HIPÓTESES: A é um domínio de integridade, f está em A[X] e f<>=0.
CONCLUSÃO: card Z(f) <= grau(f).

Equivalentemente:

(T2) HIPÓTESES: A é um domínio de integridade, f está em A[X] e card Z(f) >
grau(f).
CONCLUSÃO: f=0.

Poderíamos então propor, como exercício, a construção de um exemplo
mostrando que (T1) e (T2) não valem, em geral, para anéis que NÃO são
domínios. Para tais anéis, é possível que um polinômio não-nulo tenha mais
zeros do que o seu grau! Exemplos?

Carlos César de Araújo
Matemática para Gregos & Troianos
www.gregosetroianos.mat.br
Belo Horizonte, MG

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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