Re: [obm-l] Problema de aneis de polinomios

[Carlos César de Araújo <cca@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Prezado Carlos Maçaranduba e demais colegas,

Um contra-exemplo de uma afirmação P é um exemplo da negação de P. No seu
caso, P é a firmação

"Se f pertence a k[x] é tal que f(w) = 0 para todo elemento w pertencente a
k, então f = 0."

Pelas regras que governam os sinais lógicos, a negação disto é:

"Existe f em k[x] tal que f(w)=0 para todo w em k, MAS f<>0."

(O "mas", aqui, é meramente enfático; do ponto de vista lógico, significa
"e".) Portanto, construir um contra-exemplo para K finito consiste em
apresentar:

(a) um corpo finito específico. A. C. Morgado ofereceu K=Z(2)={0,1}, que é
um corpo porque 2 é primo.
(b) um polinômio f em K[X] que se anule em todo w pertencente a K. A. C.
Morgado considerou f = X^2+X. Este polinômio é nulo em todo w em Z(2)? Sim,
pois f(0)=0^2+0=0 e f(1)=1^2+1=1+1=2=0. (Suponho, naturalmente, que você
compreende essas passagens sem maiores explicações.) Portanto, f(w)=w^2+w=0
para todo w em Z(2). Certo?
(c) um polinômio f que satisfaça (b) e que seja NÃO-NULO. Isto quer dizer,
que tenha PELO MENOS UM coeficiente diferente do zero (do corpo). Ora, o
polinômio apresentado por Morgado tem como coeficientes 1, 1 e 0. Isto é,
X^2+X=aX^2+bX+c, com (a,b,c)=(1,1,0). Como 1<>0 (não é?), este polinômio é
não-nulo.

Em parte, foi justamente a percepção de fatos como em (c) que estimularam os
matemáticos a estabelecer uma diferença entre "funções polinomiais" e
"formas polinomiais". Esses conceitos deixam de coincidir precisamente
quando se trabalha com corpos finitos.

Abraços,

Carlos César de Araújo
Matemática para Gregos & Troianos
www.gregosetroianos.mat.br
Belo Horizonte, MG

----- Original Message -----
From: "Carlos Maçaranduba" <soh_lamento@yahoo.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, May 31, 2003 6:20 PM
Subject: Re: [obm-l] Problema de aneis de polinomios


> Pode ser que seja problema de interpretação, mas eu
> acho que isto não é contra-exemplo PORQUE:
>
> ->Pela hipotese, eu nao deveria considerar, mesmo para
> um corpo finito que f(w) = 0 ,para todo elemento w
> pertencente ao corpo finito e  CONCLUIR QUE f =0 É
> FALSO NESTE CASO????
>
> ->UM CONTRA-EXEMPLO BOM NAO SERIA RESPEITANDO O QUE EU
> DISSE ACIMA????
>
>
>
>
> --- "A. C. Morgado" <morgado@centroin.com.br>
> escreveu: > f(x) = x^2 + x  em Z(2) eh um
> contraexemplo.
> >
> > Carlos Maçaranduba wrote:
> >
> > >
> > >Seja k um corpo infinito.Se f pertence a k[x] é tal
> > >que f(w) = 0 para todo elemento w pertencente a k,
> > >então f = 0.Mostrar por exemplo que esta
> > propriedade é
> > >falha se k é finito.
> > >
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