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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [[obm-l] Dúvida de Matemática (Infinitos)]
Prezados Thiago e Artur,
Apenas um detalhe quanto à definição de "conjunto finito", e que é RARAMENTE
percebido. Observe essas duas definições:
(1) Um conjunto A é finito se existe n em IN e uma bijeção f: {1,...,n}->A;
(2) Um conjunto A é finito se não existe função injetora f: A->A tal que
f(A)=A.
Embora a primeira definição de "finito" seja a mais natural, foi a segunda
(ou, mais precisamente, a sua negação) que marcou época na história do
pensamento matemático, pois revelou a natureza "paradoxal" do infinito
(atual): um conjunto A é INFINITO sse pode ser colocado em correspondência
biunívoca com um subconjunto próprio! A percepção deste fato foi destacada
como uma notável "descoberta" nos escritos de Bolzano, Dedekind, Cantor e
Peirce. Foi, para eles, o fato fundamental que permitiu uma autêntica
"ciência" do infinito.
Embora Cantor e Dedekind tenham reconhecido em (2) a marca verdadeira do
"infinito", seus tratamentos em artigos publicados foram diferentes. No seu
famoso livreto Was sind und Was sollen die Zahlen ?(1887), Dedekind COMEÇA
com a (negação da) definição (2). Já Cantor, em suas monografias de 1895 e
1897, parte de (1). Ambos tinham como não-problemático que (1) e (2) são
equivalentes, e ambos deram demonstrações dessa equivalência e ressaltaram o
seu papel crucial no estudo dos conjuntos infinitos.
O que demorou a ser percebido foi que a EQUIVALÊNCIA entre as definições (1)
e (2) depende de uma afirmação que causou grande consternação entre os
matemáticos no começo do século XX: o Axioma da Escolha. A prova de que
(1)=>(2) não coloca nenhuma dificuldade séria, mas provar que
(2) => (1)
requer o uso do Axioma da Escolha (mesmo em sua forma mais fraca, o "Axioma
da Escolha Enumerável"). Este fato não foi percebido por Cantor, e foi
"quase" descoberto por Dedekind (sem, contudo, dar-se conta dele por
inteiro).
Hoje, são raros os textos de Análise (pelo menos em português) que mostrem o
papel fundamental do Axioma da Escolha nas demonstrações (em topologia,
geometria diferencial, equações diferenciais, combinatória, etc.). Bem, mas
qual é o problema? Por que é importante ressaltar explicitamente os usos
desse axioma? Isto é assunto para uma outra ocasião, talvez outro lugar ...
Carlos César de Araújo
Matemática para Gregos & Troianos
www.gregosetroianos.mat.br
Belo Horizonte, MG
----- Original Message -----
From: "Artur Costa Steiner" <artur_steiner@usa.net>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, May 30, 2003 10:55 AM
Subject: [obm-l] Re: [[obm-l] Dúvida de Matemática (Infinitos)]
> Oi Thiago
> Comecemos pelas definicoes de conjunto finito e infinito. Sao, de fato, o
que
> os termos sugerem, um conjunto finito tem um numero finito de elementos e,
no
> outro caso, infinitos elementos. Formalmente, dizemos que um conjunto eh
> finito se ele puder ser colocado em correspondencia biunivuca com um
> seguimento inicial do conjunto dos naturais. Dizemos que In eh um
seguimento
> inicial do conjunto dos naturais se, para algum natural n, tivermos In =
> {1,....n}. Logo, se um conjunto eh finito, existe uma bijecao dele sobre
In
> para algum natural n.
> Dizemos que um conjunto eh infinito se nao for finito, isto eh, se nao
houver
> nenhum n para o qual seja possivel encontrar uma bijecao do conjunto sobre
> In.
>
> Os termos enumerável e nao-enumeravel referem-se tambem a conjuntos.
Dizemos
> que um conjunto eh infinito enumeravel se houver uma bijecao dele sobre o
> conjunto N, dos naturais. O conjunto N eh portanto numeravel, pois hah uma
> bijecao dele sobre ele mesmo. Tambem numeravel eh o conjunto dos Z dos
> inteiros, pois podemos obter uma correspondencia biunivica da seguinte
forma
> 0 --- 1
> 1 --- 2
> -1 ----3
> 2 ---- 4
> -2 ---- 5
> ..
> n --- 2n
> -n ---2n+1
> ...
>
> O conjunto dos racionais eh numeravel (em qualquer livro de analise hah
esta
> prova). Unioes de colecoes numeraveis de conjuntos numeraveis sao
numeraveis
> (a prova disto, no caso geral, baseia-se em um axioma conhecido por Axioma
da
> Escolha). Produtos cartesianos finitos de conjuntos numeraveis sao
numeraveis,
> logo N^2 e Q^2 sao numeraveis.
>
> Um conjunto eh infinito nao enumeravel se nao houver uma bijecao dele
sobre N.
> Assim, o conjunto dos reais nao eh numeravel. O intervalo [0,1] tambem nao
eh
> numeravel. De modo geral, intervalos sobre a reta real nao sao numeraveis.
Os
> espacos vetoriais R^n nao sao numeraveis eo conjunto dos complexos tambem
nao
> eh.
>
> Alguns autores utilizam o termo numeravel tanto para conjuntos finitos
como
> para infinito numeraveis.
>
> Agora, com relacao aos termos infinito potencial e infinito atual, eu vou
> ficar devendo. Nunca ouvi estes conceitos antes, pelo menos nao com tais
> denominacoes.
> Um abraco
> Artur
>
> Thiago Luís Tezza <thiagotezza@hotmail.com> wrote:
> >
> > Olá. Estou com uma dúvida sobre o que é:
> >
> > - Infinito enumerável;
> > - Infinito não-enumerável;
> > - Infinito potencial;
> > - Infinito atual;
> >
> > E a distinção entre conjunto finito e conjunto infinito.
> >
> > Obrigado,
> >
> > Thiago Luís Tezza
> >
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