[obm-l] Re: [[obm-l] Dúvida de Matemática (Infinitos)]

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxx>]

Oi Thiago
Comecemos pelas definicoes de conjunto finito e infinito. Sao, de fato, o que
os termos sugerem, um conjunto finito tem um numero finito de elementos e, no
outro caso, infinitos elementos. Formalmente, dizemos que um conjunto eh
finito se ele puder ser colocado em correspondencia biunivuca com um
seguimento inicial do conjunto dos naturais. Dizemos que In eh um seguimento
inicial do conjunto dos naturais se, para algum natural n, tivermos In =
{1,....n}.  Logo, se um conjunto eh finito, existe uma bijecao dele sobre In
para algum natural n.  
Dizemos que um conjunto eh infinito se nao for finito, isto eh, se nao houver
nenhum n para o qual seja possivel encontrar uma bijecao do conjunto sobre
In.

Os termos enumerável e nao-enumeravel referem-se tambem a conjuntos. Dizemos
que um conjunto eh infinito enumeravel se houver uma bijecao dele sobre o
conjunto N, dos naturais. O conjunto N eh portanto numeravel, pois hah uma
bijecao dele sobre ele mesmo. Tambem numeravel eh o conjunto dos Z dos
inteiros, pois podemos obter uma correspondencia biunivica da seguinte forma
0 --- 1
1 --- 2
-1 ----3
2 ---- 4
-2 ---- 5
..
n --- 2n
-n ---2n+1
...

O conjunto dos racionais eh numeravel (em qualquer livro de analise hah esta
prova). Unioes de colecoes numeraveis de conjuntos numeraveis sao numeraveis
(a prova disto, no caso geral, baseia-se em um axioma conhecido por Axioma da
Escolha). Produtos cartesianos finitos de conjuntos numeraveis sao numeraveis,
logo N^2 e Q^2 sao numeraveis. 

Um conjunto eh infinito nao enumeravel se nao houver uma bijecao dele sobre N.
Assim, o conjunto dos reais nao eh numeravel. O intervalo [0,1] tambem nao eh
numeravel. De modo geral, intervalos sobre a reta real nao sao numeraveis. Os
espacos vetoriais R^n nao sao numeraveis eo conjunto dos complexos tambem nao
eh.

Alguns autores utilizam o termo numeravel tanto para conjuntos finitos como
para infinito numeraveis.

Agora, com relacao aos termos infinito potencial e infinito atual, eu vou
ficar devendo. Nunca ouvi estes conceitos antes, pelo menos nao com tais
denominacoes.  
Um abraco
Artur    

Thiago Luís Tezza <thiagotezza@hotmail.com> wrote:
> 
>   Olá. Estou com uma dúvida sobre o que é:
> 
>            - Infinito enumerável;
>            - Infinito não-enumerável;
>            - Infinito potencial;
>            - Infinito atual;
> 
>   E a distinção entre conjunto finito e conjunto infinito.
> 
>   Obrigado,
> 
>               Thiago Luís Tezza
> 
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