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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [[obm-l] Dúvida de Matemática (Infinitos)]
Prezados Thiago,
Creio que o Artur forneceu as definições básicas que você pediu, exceto as
que se referem aos termos "infinito potencial" e "infinito atual". A
distinção entre
"infinito potencial" e "infinito atual"
remonta a Aristóteles. Foi ressucitada com a teoria dos conjuntos infinitos
de Cantor no século XIX e adquiriram força com o estudo dos paradoxos no
século XX. Há uma ENORME literatura sobre este tema em artigos e periódicos
devotados aos fundamentos da matemática. A distinção poderá parecer meio
"filosófica" ou "metafísica" num primeiro contato, mas pode ser entendida
mais facilmente observando como se utilizam esses dois termos. (A propósito,
Wittgenstein não estava certo ao dizer que o significado de um termo é o seu
uso?)
Os conjuntos infinitos de Cantor são "infinitos atuais" e isto foi o traço
ousado da sua teoria (para a época). Um "infinito atual" é aquele que pode
ser concebido como uma entidade "completa", "acabada": todos os seus
elementos podem ser pensados num ato único, como já dados à nossa percepção
(ainda que não possamos "visualizá-los" simultaneamente). O "infinito atual"
é o único "infinito" conhecido pelos matemáticos de hoje (com exceção dos
que se dedicam ao estudo crítico dos fundamentos da matemática).
Entretanto, muitos objetaram a esse ponto de vista dizendo que, por exemplo,
os números naturais não podem ser concebidos como um conjunto infinito
"acabado". Segundo esses autores (Kronecker, Poincaré, Brower, etc), é
simplesmente um absurdo admitir que "todos" os números naturais podem ser
pensados coletivamente, como se pudéssemos colocá-los dentro de uma sacola à
qual damos o nome de IN. Para esses autores, a infinidade dos números
naturais é apenas "potencial": podemos sempre imaginar números maiores do
que um número dado previamente, mas não temos o direito de "considerar" ou
"pegar" TODOS os números naturais de uma só vez (como hoje estamos
acostumados a fazer por influência de Cantor). As várias complicações
envolvidas na teoria dos conjuntos de Cantor seriam uma prova (segundo esse
ponto de vista) de que o "infinito atual" é auto-contraditório.
Você ficará surpreso quando descobrir a ENORME quantidade de publicações que
foram devotados a este tema somente no século XX! O tom das discussões
requer algum preparo em filosofia (ontologia e epistemologia; a questão dos
universais; o nominalismo, etc.), lingüística (semântica, sintaxe,
significado, referentes, etc) e, claro, matemática! Quando tiver tempo,
enviarei a esta lista um resumo da bibliografia técnica com a qual estou
familiarizado. No momento, sugiro que leia o meu artigo na página
http://www.gregosetroianos.mat.br/historia.asp
De um ponto de vista puramente pragmático, você pode seguramente "ignorar"
essas incursões pela filosofia quando estiver estudando o infinito em cursos
regulares de matemática. O conceito de "infinito" que vigora nos livros de
Análise e Topologia Geral é (implicitamente) o de "infinito atual", sendo
esta a atitude que os matemáticos herdaram de Cantor.
Carlos César de Araújo
Matemática para Gregos & Troianos
www.gregosetroianos.mat.br
Belo Horizonte, MG
----- Original Message -----
From: "Artur Costa Steiner" <artur_steiner@usa.net>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, May 30, 2003 10:55 AM
Subject: [obm-l] Re: [[obm-l] Dúvida de Matemática (Infinitos)]
> Oi Thiago
> Comecemos pelas definicoes de conjunto finito e infinito. Sao, de fato, o
que
> os termos sugerem, um conjunto finito tem um numero finito de elementos e,
no
> outro caso, infinitos elementos. Formalmente, dizemos que um conjunto eh
> finito se ele puder ser colocado em correspondencia biunivuca com um
> seguimento inicial do conjunto dos naturais. Dizemos que In eh um
seguimento
> inicial do conjunto dos naturais se, para algum natural n, tivermos In =
> {1,....n}. Logo, se um conjunto eh finito, existe uma bijecao dele sobre
In
> para algum natural n.
> Dizemos que um conjunto eh infinito se nao for finito, isto eh, se nao
houver
> nenhum n para o qual seja possivel encontrar uma bijecao do conjunto sobre
> In.
>
> Os termos enumerável e nao-enumeravel referem-se tambem a conjuntos.
Dizemos
> que um conjunto eh infinito enumeravel se houver uma bijecao dele sobre o
> conjunto N, dos naturais. O conjunto N eh portanto numeravel, pois hah uma
> bijecao dele sobre ele mesmo. Tambem numeravel eh o conjunto dos Z dos
> inteiros, pois podemos obter uma correspondencia biunivica da seguinte
forma
> 0 --- 1
> 1 --- 2
> -1 ----3
> 2 ---- 4
> -2 ---- 5
> ..
> n --- 2n
> -n ---2n+1
> ...
>
> O conjunto dos racionais eh numeravel (em qualquer livro de analise hah
esta
> prova). Unioes de colecoes numeraveis de conjuntos numeraveis sao
numeraveis
> (a prova disto, no caso geral, baseia-se em um axioma conhecido por Axioma
da
> Escolha). Produtos cartesianos finitos de conjuntos numeraveis sao
numeraveis,
> logo N^2 e Q^2 sao numeraveis.
>
> Um conjunto eh infinito nao enumeravel se nao houver uma bijecao dele
sobre N.
> Assim, o conjunto dos reais nao eh numeravel. O intervalo [0,1] tambem nao
eh
> numeravel. De modo geral, intervalos sobre a reta real nao sao numeraveis.
Os
> espacos vetoriais R^n nao sao numeraveis eo conjunto dos complexos tambem
nao
> eh.
>
> Alguns autores utilizam o termo numeravel tanto para conjuntos finitos
como
> para infinito numeraveis.
>
> Agora, com relacao aos termos infinito potencial e infinito atual, eu vou
> ficar devendo. Nunca ouvi estes conceitos antes, pelo menos nao com tais
> denominacoes.
> Um abraco
> Artur
>
> Thiago Luís Tezza <thiagotezza@hotmail.com> wrote:
> >
> > Olá. Estou com uma dúvida sobre o que é:
> >
> > - Infinito enumerável;
> > - Infinito não-enumerável;
> > - Infinito potencial;
> > - Infinito atual;
> >
> > E a distinção entre conjunto finito e conjunto infinito.
> >
> > Obrigado,
> >
> > Thiago Luís Tezza
> >
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