Re: [Re: [obm-l] Limite da integral]

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Obrigado, Morgado.

O exemplo realmente não poderia ser mais simples.

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Augusto Cesar de Oliveira Morgado" <morgado@centroin.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, May 29, 2003 5:26 PM
Subject: Re: [Re: [obm-l] Limite da integral]


> f_n(x) = x^n em [0, 1] converge para f(x) = 0 se 0 menor ou igual x menor
que 1 e f(1) = 1
> A sequencia das integrais, 1/(n+1), converge para 0 e a integral do limite
da sequencia tambem vale zero.
> Nao obstante, a convergencia nao eh uniforme pois
> sup Modulo [f_n(x)-f(x)] = 1 nao tende a 0.
>
>
> Em Thu, 29 May 2003 15:48:23 -0300, Cláudio_(Prática)
<claudio@praticacorretora.com.br> disse:
>
> > Oi, Artur:
> >
> > Realmente acho que você tem razão. A condição na certa é suficiente mas
> > nenhum livro que eu olhei falava que é necessária.
> >
> > Infelizmente, não achei nenhum exemplo de sequência não-uniformemente
> > convergente para o qual integral do limite = limite da integral. Você
> > conhece algum?
> >
> > Por outro lado, achei contra-exemplos onde integral do limite <> limite
da
> > integral nos casos:
> > 1) Sequência não-unif. conv. ==> f_n(x) = n*x*e^(-nx^2) em [0,1]
> > e
> > 2) Sequência unif.-conv. mas integral imprópria ==> f_n(x) = e^(-x/n)/n
em
> > [0,+infinito)
> > (assim, parece que a condição é suficiente desde que o intervalo de
> > integração seja compacto)
> >
> > Um abraço,
> > Claudio.
> >
> > ----- Original Message -----
> > From: "Artur Costa Steiner" <artur_steiner@usa.net>
> > To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > Sent: Tuesday, May 27, 2003 5:20 PM
> > Subject: Re: [Re: [obm-l] Limite da integral]
> >
> >
> > >
> > > > Oi, Tertuliano:
> > > >
> > > > A resposta é "depende".
> > > >
> > > > Mais formalmente, seja (f_n(x)) uma sequencia de funções que
converge
> > para
> > > o limite f(x).
> > > >
> > > > Você quer saber se:
> > > > lim(n->inf) INTEGRAL(x1 a x2) f_n(x)dx = INTEGRAL(x1 a x2) f(x)dx.
> > > >
> > > > Isso só será verdade se a convergência for uniforme, ou seja:
> > > > Se dado epsilon > 0, existir N tal que, para todo n > N e todo x no
> > domínio
> > > das f_n e de f , | f(x) - f_n(x) | < epsilon.
> > >
> > > Eu nao estou absolutamente certo neste momento, mas me parece que esta
eh
> > uma
> > > condicao suficiente, porem nao necessaria. Acho que eh possivel que a
> > condicao
> > > desejada ocorra sem que a convergencia de f_n para f seja uniforme.
Vou
> > > consultar quando estiver em casa.
> > >
> > > Uma questao interessante ocorre quando fazemos uma pergunta
semelhante,
> > agora
> > > nao para a integral e sim para derivadas. O fato de f_n convergir para
f e
> > de
> > > que as f_n sejam diferenciaveis nao garante que f'_n convirja para f',
> > ainda
> > > que saibamos que f' exista e e que f_n => f uniformemente. Hah porem
um
> > > teorema que diz: Seja f_n uma sequencia de funcoes diferenciaveis em
um
> > > intervalo fechado I da reta real. Se (1) a sequencia de numeros reais
> > f_n(a)
> > > for convergente para algum a em I e (2) a sequencia f'_n convergir
> > > uniformemente em I para uma funcao g, entao f_n converge uniformemente
em
> > I
> > > para uma funcao f tal que f' = g em I.
> > > A demonstracao deste teorema eh muito bonita. Ele estabelece uma
condicao
> > > suficiente, embora nao necessaria.
> > >
> > > Series de potencias tem a interessante caracteristica de que
> > diferenciando-se
> > > ou integrando-se os seus termos no interior do circulo de
convergencia,
> > > obtemos uma nove serie que converge para a  derivada ou para a
integral da
> > > funcao limite da serie original.
> > > Um abraco
> > > Artur
> > >
> > >
> > >
> > >
=========================================================================
> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > >
=========================================================================
> >
> >
=========================================================================
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
=========================================================================
> >
> >
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================