Re: [Re: [obm-l] Limite da integral]

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

f_n(x) = x^n em [0, 1] converge para f(x) = 0 se 0 menor ou igual x menor que 1 e f(1) = 1
A sequencia das integrais, 1/(n+1), converge para 0 e a integral do limite da sequencia tambem vale zero.
Nao obstante, a convergencia nao eh uniforme pois 
sup Modulo [f_n(x)-f(x)] = 1 nao tende a 0.


Em Thu, 29 May 2003 15:48:23 -0300, Cláudio_(Prática) <claudio@praticacorretora.com.br> disse:

> Oi, Artur:
> 
> Realmente acho que você tem razão. A condição na certa é suficiente mas
> nenhum livro que eu olhei falava que é necessária.
> 
> Infelizmente, não achei nenhum exemplo de sequência não-uniformemente
> convergente para o qual integral do limite = limite da integral. Você
> conhece algum?
> 
> Por outro lado, achei contra-exemplos onde integral do limite <> limite da
> integral nos casos:
> 1) Sequência não-unif. conv. ==> f_n(x) = n*x*e^(-nx^2) em [0,1]
> e
> 2) Sequência unif.-conv. mas integral imprópria ==> f_n(x) = e^(-x/n)/n em
> [0,+infinito)
> (assim, parece que a condição é suficiente desde que o intervalo de
> integração seja compacto)
> 
> Um abraço,
> Claudio.
> 
> ----- Original Message -----
> From: "Artur Costa Steiner" <artur_steiner@usa.net>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Tuesday, May 27, 2003 5:20 PM
> Subject: Re: [Re: [obm-l] Limite da integral]
> 
> 
> >
> > > Oi, Tertuliano:
> > >
> > > A resposta é "depende".
> > >
> > > Mais formalmente, seja (f_n(x)) uma sequencia de funções que converge
> para
> > o limite f(x).
> > >
> > > Você quer saber se:
> > > lim(n->inf) INTEGRAL(x1 a x2) f_n(x)dx = INTEGRAL(x1 a x2) f(x)dx.
> > >
> > > Isso só será verdade se a convergência for uniforme, ou seja:
> > > Se dado epsilon > 0, existir N tal que, para todo n > N e todo x no
> domínio
> > das f_n e de f , | f(x) - f_n(x) | < epsilon.
> >
> > Eu nao estou absolutamente certo neste momento, mas me parece que esta eh
> uma
> > condicao suficiente, porem nao necessaria. Acho que eh possivel que a
> condicao
> > desejada ocorra sem que a convergencia de f_n para f seja uniforme. Vou
> > consultar quando estiver em casa.
> >
> > Uma questao interessante ocorre quando fazemos uma pergunta semelhante,
> agora
> > nao para a integral e sim para derivadas. O fato de f_n convergir para f e
> de
> > que as f_n sejam diferenciaveis nao garante que f'_n convirja para f',
> ainda
> > que saibamos que f' exista e e que f_n => f uniformemente. Hah porem um
> > teorema que diz: Seja f_n uma sequencia de funcoes diferenciaveis em um
> > intervalo fechado I da reta real. Se (1) a sequencia de numeros reais
> f_n(a)
> > for convergente para algum a em I e (2) a sequencia f'_n convergir
> > uniformemente em I para uma funcao g, entao f_n converge uniformemente em
> I
> > para uma funcao f tal que f' = g em I.
> > A demonstracao deste teorema eh muito bonita. Ele estabelece uma condicao
> > suficiente, embora nao necessaria.
> >
> > Series de potencias tem a interessante caracteristica de que
> diferenciando-se
> > ou integrando-se os seus termos no interior do circulo de convergencia,
> > obtemos uma nove serie que converge para a  derivada ou para a integral da
> > funcao limite da serie original.
> > Um abraco
> > Artur
> >
> >
> >
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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