Re: [Re: [obm-l] Limite da integral]

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Oi, Artur:

Realmente acho que você tem razão. A condição na certa é suficiente mas
nenhum livro que eu olhei falava que é necessária.

Infelizmente, não achei nenhum exemplo de sequência não-uniformemente
convergente para o qual integral do limite = limite da integral. Você
conhece algum?

Por outro lado, achei contra-exemplos onde integral do limite <> limite da
integral nos casos:
1) Sequência não-unif. conv. ==> f_n(x) = n*x*e^(-nx^2) em [0,1]
e
2) Sequência unif.-conv. mas integral imprópria ==> f_n(x) = e^(-x/n)/n em
[0,+infinito)
(assim, parece que a condição é suficiente desde que o intervalo de
integração seja compacto)

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Artur Costa Steiner" <artur_steiner@usa.net>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, May 27, 2003 5:20 PM
Subject: Re: [Re: [obm-l] Limite da integral]


>
> > Oi, Tertuliano:
> >
> > A resposta é "depende".
> >
> > Mais formalmente, seja (f_n(x)) uma sequencia de funções que converge
para
> o limite f(x).
> >
> > Você quer saber se:
> > lim(n->inf) INTEGRAL(x1 a x2) f_n(x)dx = INTEGRAL(x1 a x2) f(x)dx.
> >
> > Isso só será verdade se a convergência for uniforme, ou seja:
> > Se dado epsilon > 0, existir N tal que, para todo n > N e todo x no
domínio
> das f_n e de f , | f(x) - f_n(x) | < epsilon.
>
> Eu nao estou absolutamente certo neste momento, mas me parece que esta eh
uma
> condicao suficiente, porem nao necessaria. Acho que eh possivel que a
condicao
> desejada ocorra sem que a convergencia de f_n para f seja uniforme. Vou
> consultar quando estiver em casa.
>
> Uma questao interessante ocorre quando fazemos uma pergunta semelhante,
agora
> nao para a integral e sim para derivadas. O fato de f_n convergir para f e
de
> que as f_n sejam diferenciaveis nao garante que f'_n convirja para f',
ainda
> que saibamos que f' exista e e que f_n => f uniformemente. Hah porem um
> teorema que diz: Seja f_n uma sequencia de funcoes diferenciaveis em um
> intervalo fechado I da reta real. Se (1) a sequencia de numeros reais
f_n(a)
> for convergente para algum a em I e (2) a sequencia f'_n convergir
> uniformemente em I para uma funcao g, entao f_n converge uniformemente em
I
> para uma funcao f tal que f' = g em I.
> A demonstracao deste teorema eh muito bonita. Ele estabelece uma condicao
> suficiente, embora nao necessaria.
>
> Series de potencias tem a interessante caracteristica de que
diferenciando-se
> ou integrando-se os seus termos no interior do circulo de convergencia,
> obtemos uma nove serie que converge para a  derivada ou para a integral da
> funcao limite da serie original.
> Um abraco
> Artur
>
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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