Re: [Re: [obm-l] Limite da integral]

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxx>]

> Oi, Tertuliano:
> 
> A resposta é "depende".
> 
> Mais formalmente, seja (f_n(x)) uma sequencia de funções que converge para
o limite f(x).
> 
> Você quer saber se:
> lim(n->inf) INTEGRAL(x1 a x2) f_n(x)dx = INTEGRAL(x1 a x2) f(x)dx.
> 
> Isso só será verdade se a convergência for uniforme, ou seja:
> Se dado epsilon > 0, existir N tal que, para todo n > N e todo x no domínio
das f_n e de f , | f(x) - f_n(x) | < epsilon.

Eu nao estou absolutamente certo neste momento, mas me parece que esta eh uma
condicao suficiente, porem nao necessaria. Acho que eh possivel que a condicao
desejada ocorra sem que a convergencia de f_n para f seja uniforme. Vou
consultar quando estiver em casa.

Uma questao interessante ocorre quando fazemos uma pergunta semelhante, agora
nao para a integral e sim para derivadas. O fato de f_n convergir para f e de
que as f_n sejam diferenciaveis nao garante que f'_n convirja para f', ainda
que saibamos que f' exista e e que f_n => f uniformemente. Hah porem um
teorema que diz: Seja f_n uma sequencia de funcoes diferenciaveis em um
intervalo fechado I da reta real. Se (1) a sequencia de numeros reais f_n(a)
for convergente para algum a em I e (2) a sequencia f'_n convergir
uniformemente em I para uma funcao g, entao f_n converge uniformemente em I
para uma funcao f tal que f' = g em I.  
A demonstracao deste teorema eh muito bonita. Ele estabelece uma condicao
suficiente, embora nao necessaria.

Series de potencias tem a interessante caracteristica de que diferenciando-se
ou integrando-se os seus termos no interior do circulo de convergencia,
obtemos uma nove serie que converge para a  derivada ou para a integral da
funcao limite da serie original. 
Um abraco
Artur
 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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