Re: [obm-l] Problema 5 da OBMU

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Caro Luis,
   Nao sei se o Rousseau entendeu o enunciado. Acho que ele esta' pensando
que o numero de logs e' constante, e ai o resultado e' bem classico. Nesse
problema o numero de logs em cada termo depende de n (ou de x, na integral). 
Ou seja: a funcao e' 1/x entre 1 e e, 1/(x.log(x)) entre e e e^e e assim por
diante. E' um fato interessante (que a meu ver mostra o quao delicada e'a
questao da convergencia dessa serie) que, se trocarlos log (logaritmo natural) 
por lg (logaritmo na base 2), a serie, em vez de divergir, converge.
   Abracos,
            Gugu

>
>Sauda,c~oes,
>
>Apaguei a msg original do Gugu. O que sobrou foi:
>
>Caros colegas,
>Para uma serie cuja discussao sobre convergencia e'
>mais delicada, vejam o problema 5 da ultima OBM
>universitaria.
>Trata-se da serie
>Soma(n>=1)(1/(n.log(n).log log (n). ... . log log ... log(n))),
>onde os logaritmos sao naturais, e o numero de termos
>no produto depende de n:
>paramos no ultimo log log ... log(n) que e' maior ou igual a
>1.
>
>Antes de ver a solução proposta na Eureka, propus o
>problema pro prof. Rousseau. Sua resposta demorou um
>pouco por razões que não vêm ao caso mas chegou.
>
>Recentemente falou-se do teste da integral numa outra
>série ..... pelo Salvador???
>Mais um uso do mesmo teste.
>
>[]'s
>Luis
>
>===
>The series with nth term
>1/(n log n log log n \cdots log log \cdots log n) diverges
>by the integral test.  Let log_k x = log \cdots \log x with
>k iterates.  To see that \int_a^R dx/(x log_k x )
>tends to infinity with R, argue by induction and set x = e^u.
>Then the integral in question becomes
>\int_{log a}^{log R} du/(u \log_{k-1} u)
>which tends to infinity with R by induction.
>
>Alternatively, one can avoid integrals by using
>the Cauchy condensation test.
>
>Cecil
>===
>
>
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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