Re: [obm-l] Problema 5 da OBMU

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, May 29, 2003 at 07:09:07PM -0300, Luis Lopes wrote:
> Sauda,c~oes,
> 
> Apaguei a msg original do Gugu. O que sobrou foi:

Há dois arquivos para esta lista:
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br

> Caros colegas,
> Para uma serie cuja discussao sobre convergencia e'
> mais delicada, vejam o problema 5 da ultima OBM
> universitaria.
> Trata-se da serie
> Soma(n>=1)(1/(n.log(n).log log (n). ... . log log ... log(n))),
> onde os logaritmos sao naturais, e o numero de termos
> no produto depende de n:
> paramos no ultimo log log ... log(n) que e' maior ou igual a
> 1.
> 
> Antes de ver a solução proposta na Eureka, propus o
> problema pro prof. Rousseau. Sua resposta demorou um
> pouco por razões que não vêm ao caso mas chegou.
> 
> Recentemente falou-se do teste da integral numa outra
> série ..... pelo Salvador???
> Mais um uso do mesmo teste.
> 
> []'s
> Luis
> 
> ===
> The series with nth term
> 1/(n log n log log n \cdots log log \cdots log n) diverges
> by the integral test.  Let log_k x = log \cdots \log x with
> k iterates.  To see that \int_a^R dx/(x log_k x )

Acho que há um mal entendido aqui. Esta integral não corresponde
à série proposta. O certo seria definir

log_k x = log log ... log x, se esta expressão existir e for maior
                             ou igual a 1
          1                , caso contrário.

f_m(x) = x log(x) log_2(x) ... log_m(x)

f(x) = lim_{m -> infinito} f_m(x)

Note que para cada x fixo a seqüência acima (em m)
é constante a partir de certo ponto.

É um fato bem conhecido que 

soma_{n >= 1} 1/f_m(n)
integral_1^infinito dt/f_m(t)

divergem (para qualquer m dado). O problema do Gugu consiste em saber se

soma_{n >= 1} 1/f(n)
integral_1^infinito dt/f(t)

divergem.

> tends to infinity with R, argue by induction and set x = e^u.
> Then the integral in question becomes
> \int_{log a}^{log R} du/(u \log_{k-1} u)
> which tends to infinity with R by induction.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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