Re: [obm-l] diferenca entre raizes

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 26.05.03 19:11, Rafael at matduvidas@yahoo.com.br wrote:
> Cláudio,
> 
> Como é que você enxergou essa fatoração?
>> x^4 + 2x^3 - x^2 - 6x - 3 = 0 ==>
>> (x^2 - x - 1)(x^2 + 3x + 3) = 0
> 
> Isso não é muito trivial...
> 
> Abraços,
> 
> Rafael.
> 

Oi, Rafael:

Com o PARI-GP eh trivial sim.
Basta digitar:
factor(x^4 + 2*x^3 - x^2 - 6*x - 3)
e apertar <enter>...

Claro que numa prova isso pode ser meio problematico.
 
Nesse caso, apos usar o teorema das raizes racionais e descobrir que nao ha
nenhuma (os unicos candidatos sao -3, -1, 1 e 3 e nenhum serve), voce parte
pra ignorancia e postula uma fatoracao da forma:
x^4 + 2x^3 - x^2 - 6x - 3 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d).

Expandindo o lado direito e igualando coeficientes, voce obtem:
a + c = 2
b + d + ac = -1
ad + bc = -6
bd = -3

Agora, supondo que a, b, c, d sejam inteiros, temos 2 casos a considerar no
que diz respeito a "b" e "d":
i) b = 1, d = -3
ii) b = -1, d = 3

(Os casos b = +ou- 3 e d = -ou+ 1 podem ser tratados de forma analoga,
bastando permutar "a" com "c" e "b" com "d").

i) b = 1, d = -3:
Nesse caso, as equacoes dos coeficientes ficam sendo:
a + c = 2
-2 + ac = -1 ==> ac = 1
-3a + c = -6

a + c = 2  e  ac = 1 ==>
a = c = 1 ==>
-3a + c = -2 ==>
contradicao, pois -3a + c = -6 ==>
b = 1, d = -3 nao serve

ii) b = -1, d = 3:
Nesse caso, teremos:
a + c = 2
2 + ac = -1 ==> ac = -3
3a - c = -6

a + c = 2  e  ac = -3 ==>
a = 3, c = -1     ou     a = -1, c = 3

a = 3, c = -1 ==>
3a - c = 10 ==>
contradicao
   
a = -1, c = 3 ==>
3a - c = - 6 ==>
OK

Logo, teremos:
a = b = -1    e    c = d = 3

Ou seja, a fatoracao desejada serah:
(x^2 - x - 1)(x^2 + 3x + 3)


Respondendo a sua pergunta:
Eu nao enxerguei fatoracao nenhuma. Porisso, assumi que o polinomio original
de grau 4 se fatorava no produto de dois polinomios quadraticos (o que,
alias, eh sempre verdade) e, apos um pouco de braco, obtive os coeficientes
correspondentes.

Mas se voce puder usar o PARI-GP, ou algum outro software matematico pra
achar estas fatoracoes pra voce, va fundo e use...


Um abraco,
Claudio.

> --- Cláudio_(Prática)
> <claudio@praticacorretora.com.br> escreveu: >
>> ----- Original Message -----
>> From: "Rafael" <matduvidas@yahoo.com.br>
>> To: "OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> Sent: Monday, May 26, 2003 3:22 PM
>> Subject: [obm-l] diferenca entre raizes
>> 
>> 
>>> Será que este exercício está correto?
>>> 
>>> A diferença entre a maior e a menor solução real
>> da
>>> equação x² + x²/(x + 1)² = 3 é?
>>> Resposta: raiz[5]
>>> 
>> Oi, Rafael:
>> 
>> Reescrevendo a equação, teremos:
>> x^2(1 + 1/(x+1)^2) = 3 ==>
>> x^2(x^2 + 2x + 2) = 3(x + 1)^2 ==>
>> x^4 + 2x^3 + 2x^2 = 3x^2 + 6x + 3 ==>
>> x^4 + 2x^3 - x^2 - 6x - 3 = 0 ==>
>> (x^2 - x - 1)(x^2 + 3x + 3) = 0
>> 
>> x^2 - x - 1 = 0 tem como raízes (1-raiz(5))/2 e
>> (1+raiz(5))/2
>> x^2 + 3x + 3 = 0 não tem raízes reais.
>> 
>> Logo, a diferença pedida é, de fato, (1+raiz(5))/2 -
>> (1-raiz(5))/2 =
>> raiz(5).
>> 
>> Um abraço,
>> Claudio.
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