Re: [obm-l] duvidas

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 26.05.03 12:59, Luís Guilherme Uhlig at lgu@uhlig.com.br wrote:

> Valeu a todos que responderam ou tentaram!!!! estou vendo que vou aprender
> um monte aqui!!!
> 
>>> Prove que que {20 +14[(x)^(1/2)]}^(1/3) + {20 -14[(x)^(1/2)]}^(1/3) é
>>> racional
>>> 
>> Isso eh falso. Para x=1, por exemplo, isso vale raizcubica(34) +
>> raizcubica(6) que eh irracional.
> 
> Cara, tem certeza?? Essa questão caiu no IME ano passado assim: Demonstre
> que o número {20 +14[(x)^(1/2)]}^(1/3) + {20 -14[(x)^(1/2)]}^(1/3) é inteiro
> e múltiplo quatro.
> Também há uma parecida do IME aqui assim: Mostre que x é racional:
> x = {3 +[(9+125/27)^(1/2)]}^(1/3) + {-3 +[(9+125/27)^(1/2)]}^(1/3)
> que é basicamente o mesmo caso.
> 
> Até!
> Luís Guilherme Uhlig.
> 
Oi, Luis Guilherme:

Na verdade, a questao do IME envolvia apenas o caso x = 2, ou seja, pedia
pra provar que:
(20 + 14*raiz(2))^(1/3) + (20 - 14*raiz(2))^(1/3) eh inteiro e multiplo de
4.

Facamos a = (20 + 14*raiz(2))^(1/3)  e  b = (20 - 14*raiz(2))^(1/3)

Assim, queremos o valor de x = a + b

Temos que:
a*b = (20^2 - 14^2*2)^(1/3) = (400 - 392)^(1/3) = 8^(1/3) = 2.
e
a^3 + b^3 = (20 + 14*raiz(2)) + (20 - 14*raiz(2)) = 40

Usando a fatoracao:
a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) = (a + b)((a + b)^2 - 3ab), teremos:

40 = x*(x^2 - 3*2) ==>
x^3 - 6x - 40 = 0, equacao do 3o. grau com uma raiz igual a 4.

Dividindo x^3 - 6x - 40 por x - 4, obtemos x^2 + 4x + 10, polinomio de 2o.
grau com raizes complexas. Logo, o unico valor real de x eh x = 4.

Um abraco,
Claudio.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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