Re: [obm-l] Nao custa nada perguntar...

[Marcos Victor Batalha Moreira <matadorsol@xxxxxxxxxxxx>]

Olá Pessoal,

Muito Obrigado Nicolau. A demonstração por indução mostrou mas nao 
explicou ( a meu ver de aluno ). Eu tinha pensando que a
demonstração desse fato seria algo envolvendo combinação de termos pelo 
fato de (x + a)^n ser =  (x+a)(x+a)(x+a)(x+a)..... [n vezes],
aí talvez seria """"óbvio"""" ,pra vcs, professores, ver que o termo x^n 
ia aparecer combi(n,0) vezes e o termo (x^n-1)a iria aparecer com-
bin(n,1), por isso que eu chamei minha pergunta de meio idiota.


Nicolau C. Saldanha wrote:

>Só dá para responder isso se você der a sua definição de triângulo
>de Pascal; afinal podemos muito bem definir o triângulo como sendo
>formado pelos coeficientes de (x+y)^n.
>
>Mas para esta resposta não ficar muito vazia, vou sugerir uma definição:
>binom(n,m) é definido recursivamente por
>
>binom(0,0) = 1, binom(0,m) = 0 para outros valores de m.
>binom(n+1,m+1) = binom(n,m) + binom(n,m+1).
>
>Devemos provar que
>
>(x+y)^n = binom(n,0) x^n + binom(n,1) x^(n-1) y + ... + binom(n,n) y^n
>
>Faremos isso por indução; os casos n = 0, 1 e até 2 são fáceis.
>Supondo isso verdadeiro para n temos
>
>(x+y)^(n+1) =
>              (por hipótese de indução)
>= (x+y)(binom(n,0) x^n + binom(n,1) x^(n-1) y + ... + binom(n,n) y^n)
>= x(binom(n,0) x^n + binom(n,1) x^(n-1) y + ... + binom(n,n) y^n) +
>  + y(binom(n,0) x^n + binom(n,1) x^(n-1) y + ... + binom(n,n) y^n) =
>= binom(n,0) x^(n+1) + binom(n,1) x^n y + ... + binom(n,n) x y^n +
>  + (binom(n,0) x^n y + binom(n,1) x^(n-1) y^2 + ... + binom(n,n) y^(n+1) =
>= binom(n,0) x^(n+1) +
>  + (binom(n,0) + binom(n,1)) x^n y +
>  + (binom(n,1) + binom(n,2)) x^(n-1) y^2 +
>   ...
>  + binom(n,n) y^(n+1)
>              (pela definição recursiva de binom)
>= binom(n+1,0) x^(n+1) + binom(n+1,1) x^n y + ... + binom(n+1,n+1) y^(n+1)
>
>que é o que queríamos demonstrar.
>
>  
>


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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