Re: [obm-l] Nao custa nada perguntar...

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, May 24, 2003 at 02:26:36PM -0300, Marcos Victor Batalha Moreira wrote:
> Olá pessoal,
> 
> A pergunta vai ser considerada idiota por muitos porém.... lá vai:
> 
> Por que os números do triângulo de pascal coincidem com os coeficientes 
> do desenvolvimento de (x + a)^n ??

Só dá para responder isso se você der a sua definição de triângulo
de Pascal; afinal podemos muito bem definir o triângulo como sendo
formado pelos coeficientes de (x+y)^n.

Mas para esta resposta não ficar muito vazia, vou sugerir uma definição:
binom(n,m) é definido recursivamente por

binom(0,0) = 1, binom(0,m) = 0 para outros valores de m.
binom(n+1,m+1) = binom(n,m) + binom(n,m+1).

Devemos provar que

(x+y)^n = binom(n,0) x^n + binom(n,1) x^(n-1) y + ... + binom(n,n) y^n

Faremos isso por indução; os casos n = 0, 1 e até 2 são fáceis.
Supondo isso verdadeiro para n temos

(x+y)^(n+1) =
              (por hipótese de indução)
= (x+y)(binom(n,0) x^n + binom(n,1) x^(n-1) y + ... + binom(n,n) y^n)
= x(binom(n,0) x^n + binom(n,1) x^(n-1) y + ... + binom(n,n) y^n) +
  + y(binom(n,0) x^n + binom(n,1) x^(n-1) y + ... + binom(n,n) y^n) =
= binom(n,0) x^(n+1) + binom(n,1) x^n y + ... + binom(n,n) x y^n +
  + (binom(n,0) x^n y + binom(n,1) x^(n-1) y^2 + ... + binom(n,n) y^(n+1) =
= binom(n,0) x^(n+1) +
  + (binom(n,0) + binom(n,1)) x^n y +
  + (binom(n,1) + binom(n,2)) x^(n-1) y^2 +
   ...
  + binom(n,n) y^(n+1)
              (pela definição recursiva de binom)
= binom(n+1,0) x^(n+1) + binom(n+1,1) x^n y + ... + binom(n+1,n+1) y^(n+1)

que é o que queríamos demonstrar.

[]s, N.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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