Acho que apenas a
simetria do problema nao permite concluir que o maximo ocorre quando a=b=c.
Ele poderia, por exemplo, ocorrer nos pontos (1/3,1/3,9), (1/3,9,1/3) e
(9,1/3,1/3), que tmb seria uma situacao simetrica. Uma possivel solucao eh
desenvolver a igualdade dada para obter:
8 = 1+ (a+b+c) + (ab+ac+bc) + abc
Fazendo u = (abc)^1/3 e usando MA>MG:
8 >= 1+3u + 3u^2 + u^3 => 8 >= (1+u)^3
Logo, (1+u) <= 2 donde u<=1 e portanto abc <= 1(a
igualdade ocorre qdo a=b=c=1 p. ex).
Em 18 May 2003, obm-l@mat.puc-rio.br escreveu:
>Se a, b, c são reais não negativos tais que:
>(1 + a)(1 + b)(1 + c)= 8
>
>Então, sobre o produto abc podemos afirmar que:
>a) não excede de um
>b) é igual a 1
>c) está entre 1 e 2
>d) é igual a 2
>
>Outra forma de resolver eh considerar o problema de
programacao nao linear
>Maximizar abc, sujeito a
>(1+a)(1+b)(1+c) = 8
>a,b,c>=0
>
>O problema tem solucao otima, pois estamos maximizando uma
funcao continua
>em um conjunto compacto ({a,b,c em R | que a,b,c>=0 e
(1+a)(1+b)(1+c) =
>8}
>eh fechado e limitado, logo compacto). Em virtude das
simetrias da funcao
>objetivo e da restricao, no ponto de otimo temos que a=b=c, o
que nos conduz
>a que a=b=c=1 e que 1.1.1 =1 seja o maior valor possivel para
o produto abc.
>Claramente, este eh mesmo o ponto de maximo, pois se fizermos
a=7 e b=c =0,
>atendemos aas restricoes obtemos abc = 0<1.
>Artur
>
>
>
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