RE: [obm-l] Probabilidade

["Artur Costa Steiner" <artur_steiner@xxxxxxx>]

>
>Olá pessoal,
>Tava olhando uma prova da OBM e achei essa questão.
>Eu consegui acopanhar até o passo (3) se alguem puder me ajudar agradeço.
>Legenda:
>=<  : menor ou igual
> >=  : maior ou igual
>*   : multiplicação
>->  : implica
>
>[Questao]Quantos dados devem ser lançados ao mesmo tempo para maximizar
>a probabilidade de se obter
>exatamente um 2?
>
>Solução:
>
>(1) Suponha que os dados estão numerados de 1 a n. A probabilidade de
>que somente o dado No. 1 resulte em 2 é:
>    1/6 * 5/6 * .... * 5/6= 5^(n-1) / 6^n
>
>
>(2) Analogamente, a probabilidade de que somente o dado k, (1 =< k=< n)
>resulte em 2 é
>
>    5/6 * 5/6 * ... 1/6 * ... * 5/6= 5^(n-1) / 6^n
>
>(3) Portanto, a probabilidade de obter exatamente um 2 é
>
>    Pn= 5^(n-1) / 6^n + 5^(n-1) / 6^n.... = n * 5^(n-1) / 6^n
[Artur Costa Steiner] 
Na realidade, temos uma distribuicao binomial. Se vc jogar n dados, a
probabilidade de que k deles apresentem 2 eh C(n,k)(1/6)^k (5/6)^(n-k). Como
se deseja k=1, temos que P(n) = n(1/6)(5/6)^(n-1), que eh o mesmo resultado
a que vc chegou.
>
>
>(4) Agora observe que
>
>
>    Pn >= P(n+1)    <------------------- Isso é fácil de enxergar?? Ou é
>uma imposição
>                                         feita para resolver?
[Artur Costa Steiner] 
Nao eh imposicao. Outra forma de ver eh que que P(n)/P)n+1) = n/(n+1)*6/5.
Logo, teremos P(n) <= P(n+1) enquanto 1,2n/(n+1) <=1 ou 1,2n <= n+1. Logo
P(n) <= P(n+1) para n<= 5, ocorrendo igualdade quando n=5. Para n>=6, temos
P(n)< P(n+1). Isto significa que a probabilidade e maximizada para n=5 ou
n=6. Isto nao eh imposicao, mas consequencia da equacoa a que chegamos.  
>
>    -> n * 5^(n-1) / 6^n >= (n+1) * 5^(n) / 6^(n+1) -> 6n >=5(n+1)
>implica n >= 5
>
>    Para n = 5, ocorre a igualdade (P5 = P6), P5 = P6 > P7 > P8 > P9
> >... e P1 < P2 < P3 < P4 = P5 = P6
>    E a probabilidade é máxima para n = 5 ou n = 6.
[Artur Costa Steiner] 
Estah certo
>    [ Ele disse que p4=p5=p6 e concluiu que a probabilidade é máx. pra
>n=5 ou n=6. Por que não n=4?Terá sido um erro
>     de digitação?]
[Artur Costa Steiner] 
n=4 nao maximiza a probabilidade. Hah de fato um erro
Artur

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