Re: [obm-l] 2 problemas de analise - Dica

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

----- Original Message -----
From: "Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira" <gugu@impa.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, May 10, 2003 8:23 PM
Subject: Re: [obm-l] 2 problemas de analise - Dica

>    Caro Claudio,
>    Esqueci da dica sobre o problema da serie. Ai vai: sejam (pelo menos
para
> s > 1) zeta(s)=soma(n=1 a infinito)(1/n^s) e f(s)=(1-1/2^(s-1)).zeta(s)=
> =soma(n=1 a infinito)((-1)^n/n^s). A ideia e' mostrar que f se estende
> naturalmente a (0,infinito), e estima-la perto de 1. Nossa serie e' f'(1).
>    Abracos,
>            Gugu
>

Oi, Gugu:

Consegui verificar os fatos que você mencionou mas empaquei na hora de
estimar f(x) com x perto de 1.

f(x) = (1 - 1/2^(x-1))*zeta(x) = zeta(x) - 2*zeta(x)/2^x ==>
f(x) = (1 + 1/2^x + 1/3^x  + ...) - 2*(1/2^x + 1/4^x + 1/6^x + ...) ==>
f(x) = 1 - 1/2^x + 1/3^x - 1/4^x + 1/5^x - .... ==>
f(1) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ... = ln(2).

Além disso:
f'(x) = ln(2)/2^x - ln(3)/3^x + ln(4)/4^x - ln(5)/5^x + ... ==>
f'(1) = ln(2)/2 - ln(3)/3 + ln(4)/4 - ln(5)/5 + ...

*****

x > 0 ==> lim(n -> +infinito)1/n^x = 0
e
f(x) é alternada ==>

Para cada x em (0,+infinito), f(x) é uma série convergente ==>

f é bem definida em (0,+infinito).

Considerações similares implicam que f' também é bem definida para todo x >
0.

*****

E foi só o que consegui fazer...

Preciso de mais uma dica.

Um abraço,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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