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Re: [obm-l] 2 problemas de analise - Dica
Caro Claudio,
Esqueci da dica sobre o problema da serie. Ai vai: sejam (pelo menos para
s > 1) zeta(s)=soma(n=1 a infinito)(1/n^s) e f(s)=(1-1/2^(s-1)).zeta(s)=
=soma(n=1 a infinito)((-1)^n/n^s). A ideia e' mostrar que f se estende
naturalmente a (0,infinito), e estima-la perto de 1. Nossa serie e' f'(1).
Abracos,
Gugu
>
>on 09.05.03 21:57, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira at gugu@impa.br
>wrote:
>
>> Oi Claudio,
>> Voce esta' certo quanto ao fato de a_n convergir para 1<=x<=e^(1/e), e
>> divergir para x>e^(1/e). Entretanto, a_n pode divergir (pelo menos a
>> principio) se 0<x<1. Voce provou que a_(2n-1) converge a L1, e que a_2n
>> converge a L2, com l2=x^(L1) e L1=x^(L2), mas pode ser que nenhum deles
>> satisfaca x^y=y. A equacao x^(x^y) PODE ter mais de uma solucao em (0,1)
>> para certos valores de x em (0,1)...
>> Abracos,
>> Gugu
>>
>Oi, Gugu:
>
>De fato, para todo b suficientemente pequeno, a equacao x = b^(b^x) parece
>ter mais de uma solucao.
>
>Por exemplo, usando b = 0,05, eu achei as solucoes:
>x1 = 0,137359396,
>x2 = 0,350224853 e
>x3 = 0,662660839 (com precisao de 9 casas decimais).
>
>Tambem, para x = 0,05, a sequencia (a_n) eventualmente fica oscilando, com
>a_(2n-1) convergindo para x1 e a_2n para x3.
>
>Conclusao: Eu nao fui tao meticuloso quanto deveria nas minhas exploracoes
>numericas...
>
>Perguntas:
>1) Sera que existe um valor critico b_0 tal que x = b^(b^x) tem solucao
>unica se e somente se b >= b_0? Em caso afirmativo, qual o seu valor?
>
>2) No caso b = x = 0,05, qual o papel desempenhado por x2?
>
>*****
>
>Ainda nao sai da estaca zero na soma da serie ln(2)/2 - ln(3)/3 + ...
>
>Voce teria alguma dica a oferecer?
>
>*****
>
>Quando tiver uma chance, por favor nao deixe de mandar sua solucao para o
>problema da sequencia e das medias.
>
>
>Muito obrigado e um abraco,
>Claudio.
>
>
>>>
>>>
>>> ----- Original Message -----
>>> From: "Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira" <gugu@impa.br>
>>> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>> Sent: Friday, May 09, 2003 1:42 AM
>>> Subject: [obm-l] 2 problemas de analise
>>>
>>>
>>>> Caros colegas,
>>>> Tem uma pergunta que o Marcio me fez esta semana sobre uma serie que eu
>>>> achei interessante e resolvi mandar para a lista:
>>>> Calcular o valor da serie ln(2)/2-ln(3)/3+ln(4)/4-ln(5)/5+...
>>>> Obs: Voces podem usar as funcoes que voces conhecem e constantes famosas,
>>>> como a constante de Euler, na expressao final.
>>>> Tem outro problema, este mais famoso, que eu nao sei se ja' foi
>>> discutido
>>>> nesta lista, que e' o seguinte: qual e' o dominio da funcao x^x^x^x^... ?
>>>> Mais precisamente, dado x > 0 definimos a_1=x e a_(n+1)=x^(a_n) para todo
>>>> n>=1. Para quais valores de x a sequencia (a_n) converge ? A resposta e'
>>>> interessante...
>>>> Abracos,
>>>> Gugu
>>>
>>> Oi, Gugu:
>>>
>>> Ainda estou pensando no 1o., mas o 2o. ? realmente interessante:
>>>
>>> Mediante explora??es num?ricas, eu cheguei ?s seguintes conjecturas:
>>> 1) Para 0 < x < 1, a sequencia (a_n) ? convergente.
>>> 2) Para x = 1, (a_n) ? constante e igual a 1.
>>> 3) Para 1 < x <= e^(1/e), (a_n) converge e o limite ? <= e.
>>> 4) Para x > e^(1/e), (a_n) diverge.
>>>
>>> As demonstra??es seguem abaixo:
>>>
>>> CONJECTURA 1:
>>>
>>> Para 0 < x < 1, a subsequencia (a_(2n-1)) ? crescente e a subsequencia
>>> (a_2n) ? decrescente.
>>> Dem:
>>> Isso decorre do seguinte fato:
>>> Se 0 < a < 1 e 0 < b < c < 1, ent?o 0 < a < a^c < a^b < 1.
>>>
>>> Fazendo a = x e b = x^x, teremos:
>>> 0 < x < x^(x^x) < 1, ou seja: 0 < a_1 < a_3 < 1.
>>>
>>> Suponhamos que a_(2n-1) = x^(x^a_(2n-3)) > a_(2n-3).
>>>
>>> Como x, a_(2n-3) e a_(2n-1) est?o entre 0 e 1 teremos que:
>>> x^a_(2n-1) < x^a_(2n-3) ==>
>>> a_(2n+1) = x^(x^a_(2n-1)) > x^(x^a_(2n-3) = a_(2n-1)
>>>
>>> Assim, por indu??o, provamos que (a_(2n-1)) ? sempre crescente.
>>>
>>> De forma an?loga, provamos que (a_2n) ? decrescente.
>>>
>>> Como as duas subsequencias s?o limitadas, conclu?mos que ambas convergem.
>>>
>>> Sejam A = lim a_(2n+1) = lim a_(2n-1) e B = lim a_(2n+2) = lim a_2n.
>>> Como, a_(k+2) = x^(x^a_k), teremos A = x^(x^A) e B = x^(x^B)
>>> Tomando logaritmos de base x, teremos: log_x(A) = x^A e log_x(B) = x^B.
>>> No entanto, quando 0 < x < 1, a equacao log_x(y) = x^y tem exatamente uma
>>> raiz real.
>>> Logo, A = B.
>>>
>>> *****
>>>
>>> CONJECTURA 2:
>>>
>>> x = 1 ==>
>>> a_1 = 1 e a_n = 1^a_(n-1) = 1 ==>
>>> a_n ? constante e igual a 1.
>>>
>>> *****
>>>
>>> CONJECTURA 3:
>>>
>>> Se x > 1, ent?o (a_n) ? crescente.
>>> Dem:
>>> a_1 = x > 1
>>> a_2 = x^x > x^1 = x = a_1
>>> Suponhamos que a_n = x^a_(n-1) > a_(n-1).
>>> Teremos, ent?o que a_(n+1) = x^a_n = x^(x^a_(n-1)) > x^a_(n-1) = a_n.
>>> Logo, por indu??o, o resultado est? provado.
>>>
>>> Se 1 < x <= e^(1/e), ent?o, para todo n, a_n <= e.
>>> Dem:
>>> a_1 = x <= e^(1/e) < e
>>> a_2 = x^x <= (e^(1/e))^e = e^(e/e) = e^1 = e
>>> Suponhamos que a_n <= e.
>>> Ent?o, a_(n+1) = x^a_n <= (e^(1/e))^a_n <= e^(e/e) = e^1 = e.
>>> Logo, por indu??o, o resultado est? provado.
>>>
>>> Assim, se 1 < x <= e^(1/e), ent?o a_n ? crescente e limitada. Logo,
>>> converge.
>>>
>>> Em particular, se x = e^(1/e), teremos que lim a_n = e.
>>> Dem:
>>> Suponhamos que lim a_n = L.
>>> Assim: L = (e^(1/e))^L = e^(L/e) ==>
>>> ln(L) = L/e ==>
>>> L = e.
>>>
>>> *****
>>>
>>> CONJECTURA 4:
>>>
>>> Se y > x > e^(1/e)
>>> Se x > e^(1/e), ent?o (a_n) ? crescente e ilimitada.
>>> Dem:
>>> J? provamos acima que (a_n) ? crescente.
>>>
>>> Suponhamos que exista K > 0 tal que, para todo n, a_n < K.
>>> Nesse caso, dever? existir L = lim a_n.
>>>
>>> Assim, L = x^L > (e^(1/e))^L = e^(L/e) ==>
>>> ln(L) > L/e ==>
>>> contradi??o, pois para todo x > 0, ln(x) <= x/e ==>
>>> n?o existe lim a_n ==>
>>> como (a_n) ? crescente, n?o pode ser limitada.
>>>
>>> *****
>>>
>>> Um abra?o,
>>> Claudio.
>>>
>>> =========================================================================
>>> Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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