Re: [obm-l] 2 problemas de analise - Medias

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 10.05.03 20:15, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira at gugu@impa.br
wrote:

> Oi Claudio,
> O Marcio ja' completou a solucao... Quanto ao problema das medias, vamos
> fazer primeiro para os inteiros. Vou supor que a sequencia e' nao-decrescente
> e que o primeiro termo e' 0 (solucoes sao invariantes por somar uma
> constante a todo mundo). Ja' sabemos que os 9 primeiros termos devem ser 0.
> Se nem todo mundo e' 0, podemos dividir todo mundo pela maior potencia de 2
> que divide todo mundo, e teremos algum termo a impar, mas entao a/8=
> =(0+0+...+0+a)/8=(b1+b2=...+b9)/9, donde b1+b2+...+b9=9a/8, que nao e'
> inteiro, apesar de todos os b-i serem, absurdo. Se temos uma solucao
> racional nao-trivial, multiplicamos todo mundo pelo mmc dos denominadores e
> obtemos uma solucao inteira nao-trivial, absurdo. Finalmente, dada uma
> solucao real nao-trivial, as igualdades entre medias de 8 termos e medias de
> 9 termos que ela satisfaz determinam um subespaco racional de R^n onde os
> pontos racionais sao densos, donde ela pode ser arbitrariamente bem
> aproximada por solucoes racionais, que tambem serao nao-triviais se a
> aproximacao for suficientemente boa, absurdo.
> Abracos,
> Gugu
> 
> 
Oi, Gugu:

A minha solucao pros casos inteiro e racional foi essencialmente a mesma,
apesar do seu argumento ter sido mais bonitinho, com a ideia de dividir por
2^n pra fazer sobrar algum termo impar.

No caso real eu peguei mais leve. Usei apenas a condicao das medias pra cada
coordenada racional dos termos da sequencia em relacao a uma dada base real
e conclui que, para cada k (1 <= k <= dimensao do subespaco de R gerado
pelos termos da sequencia), a k-esima coordenada deveria ser a mesma para
cada um dos 100 termos.

De qualquer forma, sem a dica de se considerar R como um espaco vetorial
sobre Q eu nao teria conseguido. Seria interessante ver uma solucao que nao
usasse este fato.

Um abraco,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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