Re: [obm-l] 2 problemas de analise - Dica

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   OK, mais dicas:
   Vamos entender melhor como funciona zeta(s) perto de 1. Temos
integral(s=1 a infinito)(1/x^s)=1/(s-1), donde zeta(s)-1/(s-1)=
=soma(1/n^s-integral(n a n+1)(1/x^s)) fica limitada perto de 1, tendendo a
uma certa constante c. Temos entao zeta(s)=1/(s-1)+c+O(s-1) para s perto de
1. Quem e' c ?
   Abracos,
            Gugu
 
>
>----- Original Message -----
>From: "Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira" <gugu@impa.br>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Saturday, May 10, 2003 8:23 PM
>Subject: Re: [obm-l] 2 problemas de analise - Dica
>
>>    Caro Claudio,
>>    Esqueci da dica sobre o problema da serie. Ai vai: sejam (pelo menos
>para
>> s > 1) zeta(s)=soma(n=1 a infinito)(1/n^s) e f(s)=(1-1/2^(s-1)).zeta(s)=
>> =soma(n=1 a infinito)((-1)^n/n^s). A ideia e' mostrar que f se estende
>> naturalmente a (0,infinito), e estima-la perto de 1. Nossa serie e' f'(1).
>>    Abracos,
>>            Gugu
>>
>
>Oi, Gugu:
>
>Consegui verificar os fatos que você mencionou mas empaquei na hora de
>estimar f(x) com x perto de 1.
>
>f(x) = (1 - 1/2^(x-1))*zeta(x) = zeta(x) - 2*zeta(x)/2^x ==>
>f(x) = (1 + 1/2^x + 1/3^x  + ...) - 2*(1/2^x + 1/4^x + 1/6^x + ...) ==>
>f(x) = 1 - 1/2^x + 1/3^x - 1/4^x + 1/5^x - .... ==>
>f(1) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ... = ln(2).
>
>Além disso:
>f'(x) = ln(2)/2^x - ln(3)/3^x + ln(4)/4^x - ln(5)/5^x + ... ==>
>f'(1) = ln(2)/2 - ln(3)/3 + ln(4)/4 - ln(5)/5 + ...
>
>*****
>
>x > 0 ==> lim(n -> +infinito)1/n^x = 0
>e
>f(x) é alternada ==>
>
>Para cada x em (0,+infinito), f(x) é uma série convergente ==>
>
>f é bem definida em (0,+infinito).
>
>Considerações similares implicam que f' também é bem definida para todo x >
>0.
>
>*****
>
>E foi só o que consegui fazer...
>
>Preciso de mais uma dica.
>
>Um abraço,
>Claudio.
>
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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