Re: [obm-l] 2 problemas de analise - Dica

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

----- Original Message -----
From: "Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira" <gugu@impa.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, May 13, 2003 7:07 PM
Subject: Re: [obm-l] 2 problemas de analise - Dica


>    OK, mais dicas:
>    Vamos entender melhor como funciona zeta(s) perto de 1. Temos
> integral(s=1 a infinito)(1/x^s)=1/(s-1), donde zeta(s)-1/(s-1)=
> =soma(1/n^s-integral(n a n+1)(1/x^s)) fica limitada perto de 1, tendendo a
> uma certa constante c. Temos entao zeta(s)=1/(s-1)+c+O(s-1) para s perto
de
> 1. Quem e' c ?
>    Abracos,
>             Gugu
>
Oi, Gugu:

Agora acho que deu certo.

s = 1 ==> soma(1/n - integral(n a n+1)(1/x)) = C = constante de Euler

Assim, zeta(s) = 1/(s-1) + C + O(s-1) ==>

1/2^(s-1) = e^(-(s-1)*ln(2)) = 1 - (s-1)*ln(2) + (1/2)*(s-1)^2*ln(2)^2 +
O((s-1)^3) ==>

1 - 1/2^(s-1) = (s-1)ln(2) - (1/2)*(s-1)^2*ln(2)^2 + O((s-1)^3)  ==>

(1 - 1/2^(s-1))zeta(s) =
[(s-1)ln(2) - (1/2)*(s-1)^2*ln(2)^2 + O((s-1)^3) ]*[1/(s-1) + C + O(s-1)] =
= ln(2) + [C*ln(2) - ln(2)^2/2]*(s-1) + O((s-1)^2)

Comparando com a expansão em série de Taylor de f(s) =  (1 -
1/2^(s-1))zeta(s) em torno de s = 1, vemos que:
1. f(1) = ln(2)
e
2. f'(1) = ln(2)*[C - ln(2)/2]

Logo:
ln(2)/2 - ln(3)/3 + ln(4)/4 - ln(5)/5 + ... = ln(2)*[C - ln(2)/2]

Muito obrigado pelas dicas.

Um abraço,
Claudio.


> >
> >----- Original Message -----
> >From: "Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira" <gugu@impa.br>
> >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Sent: Saturday, May 10, 2003 8:23 PM
> >Subject: Re: [obm-l] 2 problemas de analise - Dica
> >
> >>    Caro Claudio,
> >>    Esqueci da dica sobre o problema da serie. Ai vai: sejam (pelo menos
> >para
> >> s > 1) zeta(s)=soma(n=1 a infinito)(1/n^s) e
f(s)=(1-1/2^(s-1)).zeta(s)=
> >> =soma(n=1 a infinito)((-1)^n/n^s). A ideia e' mostrar que f se estende
> >> naturalmente a (0,infinito), e estima-la perto de 1. Nossa serie e'
f'(1).
> >>    Abracos,
> >>            Gugu
> >>
> >
> >Oi, Gugu:
> >
> >Consegui verificar os fatos que você mencionou mas empaquei na hora de
> >estimar f(x) com x perto de 1.
> >
> >f(x) = (1 - 1/2^(x-1))*zeta(x) = zeta(x) - 2*zeta(x)/2^x ==>
> >f(x) = (1 + 1/2^x + 1/3^x  + ...) - 2*(1/2^x + 1/4^x + 1/6^x + ...) ==>
> >f(x) = 1 - 1/2^x + 1/3^x - 1/4^x + 1/5^x - .... ==>
> >f(1) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ... = ln(2).
> >
> >Além disso:
> >f'(x) = ln(2)/2^x - ln(3)/3^x + ln(4)/4^x - ln(5)/5^x + ... ==>
> >f'(1) = ln(2)/2 - ln(3)/3 + ln(4)/4 - ln(5)/5 + ...
> >
> >*****
> >
> >x > 0 ==> lim(n -> +infinito)1/n^x = 0
> >e
> >f(x) é alternada ==>
> >
> >Para cada x em (0,+infinito), f(x) é uma série convergente ==>
> >
> >f é bem definida em (0,+infinito).
> >
> >Considerações similares implicam que f' também é bem definida para todo x
>
> >0.
> >
> >*****
> >
> >E foi só o que consegui fazer...
> >
> >Preciso de mais uma dica.
> >
> >Um abraço,
> >Claudio.
> >

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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