Re: [obm-l] 2 problemas de analise - Dica

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Oi Claudio,
   E' isso mesmo! 
   Abracos,
           Gugu

>
>
>----- Original Message -----
>From: "Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira" <gugu@impa.br>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Tuesday, May 13, 2003 7:07 PM
>Subject: Re: [obm-l] 2 problemas de analise - Dica
>
>
>>    OK, mais dicas:
>>    Vamos entender melhor como funciona zeta(s) perto de 1. Temos
>> integral(s=1 a infinito)(1/x^s)=1/(s-1), donde zeta(s)-1/(s-1)=
>> =soma(1/n^s-integral(n a n+1)(1/x^s)) fica limitada perto de 1, tendendo a
>> uma certa constante c. Temos entao zeta(s)=1/(s-1)+c+O(s-1) para s perto
>de
>> 1. Quem e' c ?
>>    Abracos,
>>             Gugu
>>
>Oi, Gugu:
>
>Agora acho que deu certo.
>
>s = 1 ==> soma(1/n - integral(n a n+1)(1/x)) = C = constante de Euler
>
>Assim, zeta(s) = 1/(s-1) + C + O(s-1) ==>
>
>1/2^(s-1) = e^(-(s-1)*ln(2)) = 1 - (s-1)*ln(2) + (1/2)*(s-1)^2*ln(2)^2 +
>O((s-1)^3) ==>
>
>1 - 1/2^(s-1) = (s-1)ln(2) - (1/2)*(s-1)^2*ln(2)^2 + O((s-1)^3)  ==>
>
>(1 - 1/2^(s-1))zeta(s) =
>[(s-1)ln(2) - (1/2)*(s-1)^2*ln(2)^2 + O((s-1)^3) ]*[1/(s-1) + C + O(s-1)] =
>= ln(2) + [C*ln(2) - ln(2)^2/2]*(s-1) + O((s-1)^2)
>
>Comparando com a expansão em série de Taylor de f(s) =  (1 -
>1/2^(s-1))zeta(s) em torno de s = 1, vemos que:
>1. f(1) = ln(2)
>e
>2. f'(1) = ln(2)*[C - ln(2)/2]
>
>Logo:
>ln(2)/2 - ln(3)/3 + ln(4)/4 - ln(5)/5 + ... = ln(2)*[C - ln(2)/2]
>
>Muito obrigado pelas dicas.
>
>Um abraço,
>Claudio.
>
>
>> >
>> >----- Original Message -----
>> >From: "Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira" <gugu@impa.br>
>> >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> >Sent: Saturday, May 10, 2003 8:23 PM
>> >Subject: Re: [obm-l] 2 problemas de analise - Dica
>> >
>> >>    Caro Claudio,
>> >>    Esqueci da dica sobre o problema da serie. Ai vai: sejam (pelo menos
>> >para
>> >> s > 1) zeta(s)=soma(n=1 a infinito)(1/n^s) e
>f(s)=(1-1/2^(s-1)).zeta(s)=
>> >> =soma(n=1 a infinito)((-1)^n/n^s). A ideia e' mostrar que f se estende
>> >> naturalmente a (0,infinito), e estima-la perto de 1. Nossa serie e'
>f'(1).
>> >>    Abracos,
>> >>            Gugu
>> >>
>> >
>> >Oi, Gugu:
>> >
>> >Consegui verificar os fatos que você mencionou mas empaquei na hora de
>> >estimar f(x) com x perto de 1.
>> >
>> >f(x) = (1 - 1/2^(x-1))*zeta(x) = zeta(x) - 2*zeta(x)/2^x ==>
>> >f(x) = (1 + 1/2^x + 1/3^x  + ...) - 2*(1/2^x + 1/4^x + 1/6^x + ...) ==>
>> >f(x) = 1 - 1/2^x + 1/3^x - 1/4^x + 1/5^x - .... ==>
>> >f(1) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ... = ln(2).
>> >
>> >Além disso:
>> >f'(x) = ln(2)/2^x - ln(3)/3^x + ln(4)/4^x - ln(5)/5^x + ... ==>
>> >f'(1) = ln(2)/2 - ln(3)/3 + ln(4)/4 - ln(5)/5 + ...
>> >
>> >*****
>> >
>> >x > 0 ==> lim(n -> +infinito)1/n^x = 0
>> >e
>> >f(x) é alternada ==>
>> >
>> >Para cada x em (0,+infinito), f(x) é uma série convergente ==>
>> >
>> >f é bem definida em (0,+infinito).
>> >
>> >Considerações similares implicam que f' também é bem definida para todo x
>>
>> >0.
>> >
>> >*****
>> >
>> >E foi só o que consegui fazer...
>> >
>> >Preciso de mais uma dica.
>> >
>> >Um abraço,
>> >Claudio.
>> >
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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