Re: [obm-l] 2 problemas de analise

["Marcio" <marciocohen@xxxxxxxxxxxxxx>]

  Oi Claudio, oi lista, vou me meter no assunto e mostrar a solucao que o
Gugu me mostrou. Acho que vc (Gugu) nao se importa (estou poupando o seu
trabalho
de escrever e certificando-me de que entendi a solucao :)). Se eu tiver
entendido alguma coisa errado, avisem-me por favor.
  Considere o caso 0<x<1. Entao, x^x < x (pois a cuncao h(y)=a^y eh
decrescente para a em (0,1)), i.e a2 < a1.
  Do mesmo modo, x^(x^x) > x^x, i.e, a_3 > a_2  (agora usando a = x^x).
  Com a = x^(x^x), vc conclui que a_4 < a_3.
  Sendo composta de duas funcoes decrescentes, a funcao h(y) = x^(x^y) eh
crescente, e portanto a_1 < a_3 (y=x e y=0) e em geral:
  a_1 < a_3 < a_5 < ..... < a_6 < a_4 < a_2
    A sequencia (a_n) tem portanto dois valores de aderencia, que
vamos chamar de A1 e A2. Ela converge sse esses valores forem iguais.
Observe q a subsequencia impar e par que satisfazem: a_n+2 = x^(x^a_n). Os
valores de aderencia satisfazem portanto Ai = x^(x^Ai), A1 = x^(A2) e A2
= x^(A1).
Considere entao a funcao h(y) = x^(x^y) - y.
Essa equacao sempre tem ao menos uma  raiz (que vou chamar de L'), que eh a
raiz de  g(y)=x^y-y (fazendo o grafico, como x < 1, x^y eh decrescente e y
eh crescente, logo ha no maximo uma raiz. Analisando os valores em y=0 e y=1
garantimos que essa raiz de fato existe). Note que a_n, caso seja
convergente, vai para L'.
h'(y) = x^(x^y) * (x^y) * (lnx)^2 - 1
h''(y) = x^(x^y) * (x^y) * (lnx)^3 * ( 1 + (x^y)*lnx )
Como h'' tem no maximo uma raiz em (0,1) (soh o ultimo parentesis acima pode
se anular), vemos que h tem no maximo 3 raizes em (0,1) (pelo tvi, 4 raizes
de h implicam ao menos 3 de h', ..)
   1o caso: h'(L') > 0. Desenhando o grafico, vc ve que h tem tres raizes
L1<L'<L2 nesse caso (mais formalmente, h(0)=x > 0, h(L'-eps)<0, h(L'+eps)>0
e h(1)=x^(x) - x < 0).
   Alem disso, nesse caso a seq. diverge, pois ou ela comeca de a_1 = x <=
L1 e nesse caso a subsequencia impar fica limitada por L1 (inducao) nao
podendo nunca chegar em L', ou entao, se L1 < x, como h(0)>0 e
h(x)=x^(x^x)-x > 0, temos ao menos duas raizes em (0,x), e portanto L'< x,
de modo que (a_n) nao pode convergir para L' (pois a subseq. impar eh
crescente).
   2o caso: h'(L') <= 0. Nesse caso, é impossível haver 3 raízes L1 < L' <
L2 (pois isso traria ao menos 2 raízes em (0,L') (ja que h(0)*h(L'- eps)>0)
e mais duas em (L', 1), totalizando mais de 3 raizes.  Portanto, nesse caso
a serie converge (pois se ela divergisse, a equacao teria como solucao pelo
menos os dois valores de aderencia distintos A1 < A2, alem do ponto fixo L',
sendo que L' != A1,A2 (se L'=A1, entao A2 = x^(A1)=x^(L')=L'=A1).
   Logo, a_n converge sse h'(L') <= 0 sse (L')^2 * (lnx)^2 <= 1 sse (ln
L')^2 <= 1 sse e^-1 <= L' <= e sse L' >= e^-1 (pois claramente L'<1<e).
Agora, x = L' ^(1/L'), e a funcao f(y) = y^(1/y) eh crescente para y<e
(f'(y) = f(y)*(1-lny)/y^2), logo L'>= 1/e sse x >= (1/e)^e = e^(-e).

  Abracos,
  Marcio


----- Original Message -----
From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, May 10, 2003 12:58 AM
Subject: Re: [obm-l] 2 problemas de analise


> on 09.05.03 21:57, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira at gugu@impa.br
> wrote:
>
> > Oi Claudio,
> > Voce esta' certo quanto ao fato de a_n convergir para 1<=x<=e^(1/e), e
> > divergir para x>e^(1/e). Entretanto, a_n pode divergir (pelo menos a
> > principio) se 0<x<1. Voce provou que a_(2n-1) converge a L1, e que a_2n
> > converge a L2, com l2=x^(L1) e L1=x^(L2), mas pode ser que nenhum deles
> > satisfaca x^y=y. A equacao x^(x^y) PODE ter mais de uma solucao em (0,1)
> > para certos valores de x em (0,1)...
> > Abracos,
> > Gugu
> >
> Oi, Gugu:
>
> De fato, para todo b suficientemente pequeno, a equacao x = b^(b^x) parece
> ter mais de uma solucao.
>
> Por exemplo, usando b = 0,05, eu achei as solucoes:
> x1 = 0,137359396,
> x2 = 0,350224853 e
> x3 = 0,662660839 (com precisao de 9 casas decimais).
>
> Tambem, para x = 0,05, a sequencia (a_n) eventualmente fica oscilando, com
> a_(2n-1) convergindo para x1 e a_2n para x3.
>
> Conclusao: Eu nao fui tao meticuloso quanto deveria nas minhas exploracoes
> numericas...
>
> Perguntas:
> 1) Sera que existe um valor critico b_0 tal que x = b^(b^x) tem solucao
> unica se e somente se b >= b_0? Em caso afirmativo, qual o seu valor?
>
> 2) No caso b = x = 0,05, qual o papel desempenhado por x2?
>
> *****
>
> Ainda nao sai da estaca zero na soma da serie ln(2)/2 - ln(3)/3 + ...
>
> Voce teria alguma dica a oferecer?
>
> *****
>
> Quando tiver uma chance, por favor nao deixe de mandar sua solucao para o
> problema da sequencia e das medias.
>
>
> Muito obrigado e um abraco,
> Claudio.
>
>
> >>
> >>
> >> ----- Original Message -----
> >> From: "Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira" <gugu@impa.br>
> >> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >> Sent: Friday, May 09, 2003 1:42 AM
> >> Subject: [obm-l] 2 problemas de analise
> >>
> >>
> >>> Caros colegas,
> >>> Tem uma pergunta que o Marcio me fez esta semana sobre uma serie que
eu
> >>> achei interessante e resolvi mandar para a lista:
> >>> Calcular o valor da serie ln(2)/2-ln(3)/3+ln(4)/4-ln(5)/5+...
> >>> Obs: Voces podem usar as funcoes que voces conhecem e constantes
famosas,
> >>> como a constante de Euler, na expressao final.
> >>> Tem outro problema, este mais famoso, que eu nao sei se ja' foi
> >> discutido
> >>> nesta lista, que e' o seguinte: qual e' o dominio da funcao
x^x^x^x^... ?
> >>> Mais precisamente, dado x > 0 definimos a_1=x e a_(n+1)=x^(a_n) para
todo
> >>> n>=1. Para quais valores de x a sequencia (a_n) converge ? A resposta
e'
> >>> interessante...
> >>> Abracos,
> >>> Gugu

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================