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Re: [obm-l] 2 problemas de analise
Oi Marcio,
Esta' certo. Minha unica observacao e' que onde voce diz tvi e' tvm...
Abracos,
Gugu
>
> Oi Claudio, oi lista, vou me meter no assunto e mostrar a solucao que o
>Gugu me mostrou. Acho que vc (Gugu) nao se importa (estou poupando o seu
>trabalho
>de escrever e certificando-me de que entendi a solucao :)). Se eu tiver
>entendido alguma coisa errado, avisem-me por favor.
> Considere o caso 0<x<1. Entao, x^x < x (pois a cuncao h(y)=a^y eh
>decrescente para a em (0,1)), i.e a2 < a1.
> Do mesmo modo, x^(x^x) > x^x, i.e, a_3 > a_2 (agora usando a = x^x).
> Com a = x^(x^x), vc conclui que a_4 < a_3.
> Sendo composta de duas funcoes decrescentes, a funcao h(y) = x^(x^y) eh
>crescente, e portanto a_1 < a_3 (y=x e y=0) e em geral:
> a_1 < a_3 < a_5 < ..... < a_6 < a_4 < a_2
> A sequencia (a_n) tem portanto dois valores de aderencia, que
>vamos chamar de A1 e A2. Ela converge sse esses valores forem iguais.
>Observe q a subsequencia impar e par que satisfazem: a_n+2 = x^(x^a_n). Os
>valores de aderencia satisfazem portanto Ai = x^(x^Ai), A1 = x^(A2) e A2
>= x^(A1).
>Considere entao a funcao h(y) = x^(x^y) - y.
>Essa equacao sempre tem ao menos uma raiz (que vou chamar de L'), que eh a
>raiz de g(y)=x^y-y (fazendo o grafico, como x < 1, x^y eh decrescente e y
>eh crescente, logo ha no maximo uma raiz. Analisando os valores em y=0 e y=1
>garantimos que essa raiz de fato existe). Note que a_n, caso seja
>convergente, vai para L'.
>h'(y) = x^(x^y) * (x^y) * (lnx)^2 - 1
>h''(y) = x^(x^y) * (x^y) * (lnx)^3 * ( 1 + (x^y)*lnx )
>Como h'' tem no maximo uma raiz em (0,1) (soh o ultimo parentesis acima pode
>se anular), vemos que h tem no maximo 3 raizes em (0,1) (pelo tvi, 4 raizes
>de h implicam ao menos 3 de h', ..)
> 1o caso: h'(L') > 0. Desenhando o grafico, vc ve que h tem tres raizes
>L1<L'<L2 nesse caso (mais formalmente, h(0)=x > 0, h(L'-eps)<0, h(L'+eps)>0
>e h(1)=x^(x) - x < 0).
> Alem disso, nesse caso a seq. diverge, pois ou ela comeca de a_1 = x <=
>L1 e nesse caso a subsequencia impar fica limitada por L1 (inducao) nao
>podendo nunca chegar em L', ou entao, se L1 < x, como h(0)>0 e
>h(x)=x^(x^x)-x > 0, temos ao menos duas raizes em (0,x), e portanto L'< x,
>de modo que (a_n) nao pode convergir para L' (pois a subseq. impar eh
>crescente).
> 2o caso: h'(L') <= 0. Nesse caso, é impossível haver 3 raízes L1 < L' <
>L2 (pois isso traria ao menos 2 raízes em (0,L') (ja que h(0)*h(L'- eps)>0)
>e mais duas em (L', 1), totalizando mais de 3 raizes. Portanto, nesse caso
>a serie converge (pois se ela divergisse, a equacao teria como solucao pelo
>menos os dois valores de aderencia distintos A1 < A2, alem do ponto fixo L',
>sendo que L' != A1,A2 (se L'=A1, entao A2 = x^(A1)=x^(L')=L'=A1).
> Logo, a_n converge sse h'(L') <= 0 sse (L')^2 * (lnx)^2 <= 1 sse (ln
>L')^2 <= 1 sse e^-1 <= L' <= e sse L' >= e^-1 (pois claramente L'<1<e).
>Agora, x = L' ^(1/L'), e a funcao f(y) = y^(1/y) eh crescente para y<e
>(f'(y) = f(y)*(1-lny)/y^2), logo L'>= 1/e sse x >= (1/e)^e = e^(-e).
>
> Abracos,
> Marcio
>
>
>----- Original Message -----
>From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Saturday, May 10, 2003 12:58 AM
>Subject: Re: [obm-l] 2 problemas de analise
>
>
>> on 09.05.03 21:57, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira at gugu@impa.br
>> wrote:
>>
>> > Oi Claudio,
>> > Voce esta' certo quanto ao fato de a_n convergir para 1<=x<=e^(1/e), e
>> > divergir para x>e^(1/e). Entretanto, a_n pode divergir (pelo menos a
>> > principio) se 0<x<1. Voce provou que a_(2n-1) converge a L1, e que a_2n
>> > converge a L2, com l2=x^(L1) e L1=x^(L2), mas pode ser que nenhum deles
>> > satisfaca x^y=y. A equacao x^(x^y) PODE ter mais de uma solucao em (0,1)
>> > para certos valores de x em (0,1)...
>> > Abracos,
>> > Gugu
>> >
>> Oi, Gugu:
>>
>> De fato, para todo b suficientemente pequeno, a equacao x = b^(b^x) parece
>> ter mais de uma solucao.
>>
>> Por exemplo, usando b = 0,05, eu achei as solucoes:
>> x1 = 0,137359396,
>> x2 = 0,350224853 e
>> x3 = 0,662660839 (com precisao de 9 casas decimais).
>>
>> Tambem, para x = 0,05, a sequencia (a_n) eventualmente fica oscilando, com
>> a_(2n-1) convergindo para x1 e a_2n para x3.
>>
>> Conclusao: Eu nao fui tao meticuloso quanto deveria nas minhas exploracoes
>> numericas...
>>
>> Perguntas:
>> 1) Sera que existe um valor critico b_0 tal que x = b^(b^x) tem solucao
>> unica se e somente se b >= b_0? Em caso afirmativo, qual o seu valor?
>>
>> 2) No caso b = x = 0,05, qual o papel desempenhado por x2?
>>
>> *****
>>
>> Ainda nao sai da estaca zero na soma da serie ln(2)/2 - ln(3)/3 + ...
>>
>> Voce teria alguma dica a oferecer?
>>
>> *****
>>
>> Quando tiver uma chance, por favor nao deixe de mandar sua solucao para o
>> problema da sequencia e das medias.
>>
>>
>> Muito obrigado e um abraco,
>> Claudio.
>>
>>
>> >>
>> >>
>> >> ----- Original Message -----
>> >> From: "Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira" <gugu@impa.br>
>> >> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> >> Sent: Friday, May 09, 2003 1:42 AM
>> >> Subject: [obm-l] 2 problemas de analise
>> >>
>> >>
>> >>> Caros colegas,
>> >>> Tem uma pergunta que o Marcio me fez esta semana sobre uma serie que
>eu
>> >>> achei interessante e resolvi mandar para a lista:
>> >>> Calcular o valor da serie ln(2)/2-ln(3)/3+ln(4)/4-ln(5)/5+...
>> >>> Obs: Voces podem usar as funcoes que voces conhecem e constantes
>famosas,
>> >>> como a constante de Euler, na expressao final.
>> >>> Tem outro problema, este mais famoso, que eu nao sei se ja' foi
>> >> discutido
>> >>> nesta lista, que e' o seguinte: qual e' o dominio da funcao
>x^x^x^x^... ?
>> >>> Mais precisamente, dado x > 0 definimos a_1=x e a_(n+1)=x^(a_n) para
>todo
>> >>> n>=1. Para quais valores de x a sequencia (a_n) converge ? A resposta
>e'
>> >>> interessante...
>> >>> Abracos,
>> >>> Gugu
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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