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Re: [obm-l] Resquício da pequena lista de dúvidas

To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Subject: Re: [obm-l] Resquício da pequena lista de dúvidas
From: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>
Date: Sat, 10 May 2003 19:56:33 -0300 (EST)
In-Reply-To: <00ae01c3143c$a90e8440$8947fea9@1> from "Igor Correia Oliveira" at May 6, 3 11:01:50 pm
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

    Caro Igor,
    Vamos la' fazer o resto:

>
>Ol=E1,
>Agrade=E7o aos colegas que ajudaram-me na resolu=E7=E3o de algumas =
>quest=F5es. Retorno com o resqu=EDcio das d=FAvidas.
>=20
>1=B0) (IMO/1996) Let ABCDEF be a convex hexagon such that AB||DB, =
>BC||///ef and CD||AF. Let Ra, Rc, Re denote the circumradii or triangles =
>FAB, BCD, DEF, respectively, and let P denote the perimeter or hexagon. =
>Prova that Ra + Rc + Re >=3D P/2.
>2=B0) Vietnam
>
>i) Solve the system of equations=20
>
>raiz(3x)*[1+1/(x+y)]=3D2
>
>riaz(7y)*[1-1/(x+y)]=3D4*raiz(2)
>
>ii) Determine all functions f: N -> N satisfying (for all n E N) f(n) + =
>f(n+1) =3D f(n+2)*f(n+3) - 1996

   f(n+2).f(n+3)=f(n+1)+f(n)+1996, f(n+4).f(n+3)=f(n+2)+f(n+1)+1996 implicam
f(n+3).(f(n+4)-f(n+2))=f(n+2)-f(n). Como f(n+3) nao pode ser 0 (pela
primeira igualdade), isso implica que f(n+4)-f(n+2) tem modulo menor ou
igual e o mesmo sinal que f(n+2)-f(n).
Em particular, f(n+2)-f(n) nao pode ser negativo, senao f(n+2k+2)-f(n+2k)
seria sempre negativo, e a sequencia b_k=f(n+2k) seria estritamente
decrescente, absurdo, pois os b_k sao todos naturais. Se f(n+2)-f(n)=0, por
inducao temos f(n+2k)=f(n) para todo k.Por outro lado, se f(n+2)-f(n) nao e'
0 entao f(n+3), que divide f(n+2)-f(n), e' menor que f(n+2). Assim,
f(n+4)>=f(n+2) e' maior que f(n+3), donde f(n+3)-f(n+1) tem que ser 0 (e
logo, por inducao, f(n+2k+1)=f(n+1) para todo k). Nesse caso,
f(n+2k+2)-f(n)=(f(n+2k)-f(n+2k-2))/f(n+2k+1)=
=(f(n+2k)-f(n+2k-2))/f(n+1) para todo k, donde
f(n+2k+2)-f(n+2k)=(f(n+2)-f(n))/f(n+1)^k, e como f(n+2k+2)-f(n) e' um
inteiro nao nulo para todo k, f(n+1)=f(n+2k+1) tem que ser igual a 1. Assim,
ha' tres possibilidades: (f(0)=f(2) e f(1)=f(3)), (f(0)=f(2)=1 e f(1)<f(3))
ou (f(0)<f(2) e f(1)=f(3)=1). No primeiro caso, f(2k)=f(0) e f(2k+1)=f(1)
para todo k, e devemos ter f(0).f(1)=f(0)+f(1)+1996, donde
(f(0)-1)(f(1)-1)=1997, e portanto, como 1997 e' primo, devemos ter
(f(2k)=f(0)=2 e f(2k+1)=f(1)=1998 para todo k) ou (f(2k)=f(0)=1998 e
f(2k+1)=f(1)=2 para todo k).  No segundo caso, sendo f(1)=a, temos f(2k)=1
para todo k e f(2k+1)=a+1997k. No terceiro caso, sendo f(0)=a, temos
f(2k+1)=1 e f(2k)=a+1997k, para todo k.

>
>iii) Let a,b,c,d be four nonnegative real numbers satisfying  the =
>condition 2(ab + ac + ad + bc+ bd + cd) + abc + abd + acd + bcd =3D 16. =
>Prove that a + b + c + d >=3D (2/3)*(ab + ac + ad + bc + bd + cd) and =
>determine when equality occurs.
>
>3=B0) Irish Mathematics Olympiad Training 2000
>
>i)Find all integers x,y satisfying the equation
>x^3+y^3=3D(x-y).1997^2=20

   Trocando o sinal de todo mundo, podemos supor que x'+y'>0 (se for 0 o
lado esquerdo vale 0 e logo o direito tambem, implicando x=y=0.
   Sendo d=mdc(x,y), escrevemos x=d.x'e y=d.y', com mdc(x',y')=1. Temos
entao d^2.(x'^3+y'^3)=(x'-y').1997^2. Suponha que d nao e' multiplo de 1997
(que e' primo). Note que x'^3+y'^3=(x'+y')(x'^2-x'y'+y'^2), e
(x'-y')^2+x'y'=x'^2-x'y'+y'^2. Como x' e' primo com y', x'-y' e x'+y' sao
primos com x'y', e logo x' e' primo com x'^2-x'y'+y'^2. Alem disso,
mdc(x'+y',x'-y') divide 2, e, como x'^2-x'y'+y'^2=(x'+y')^2-3x'y',
mdc(x'+y',x'^2-x'y'+y'^2)
divide 3. Assim, 1997 nao pode dividir ao mesmo tempo x'+y' e
x'^2-x'y'+y'^2. Como, nesse caso, 1997^2 divide (x'+y')(x'^2-x'y'+y'^2), e
mdc(x'-y',x'^3+y'^3) divide 2, temos x'^3+y'^3=1997^2 ou x'^3+y'^3=2.1997^2.
Como x'^2-x'y'+y'^2 e' maior que x'+y', devemos ter x'+y'=1 ou x'+y'=2.
Sendo x'+y'=a, x'^2-x'y'+y'^2=(x'+y')^2-3x'y'=b.1997^2, temos a e b iguais a
1 ou 2, e caimos na equacao do segundo grau a^2-3x'(a-x')=b.1997^2 cujo
discriminante 9a^2-12(a^2-b.1997^2)=12b.1997^2-3a^2 nao e' quadrado perfeito
para nenhuma escolha de a e b em {1,2}.
   Assim, temos d=1997.d', donde d'^2.(x'^3+y'^3)=(x'-y'), donde x'-y' e'
positivo e x'^3+y'^3 >= x'^2-x'y'+y'^2, que e' maior que x'-y', a menos que
x'=1 e y'=0. Isso implica d'=1, e nos da' a solucao (x,y)=(1997,0) (e seu
simetrico (x,y)=(-1997,0)). Assim, o conjunto das solucoes e'
{(0,0),(1997,0) e (-1997,0)}.

>
>ii)Find a solution of the simultaneous equations
>3[x-y(x=B2-y=B2)^=BD] =3D (1-x=B2+y=B2)^=BD=20
>5[y-x(x=B2-y=B2)^=BD] =3D (1-x=B2+y=B2)^=BD=20

    Vamos admitir que as raizes quadradas que aparecem sao nao-negativas.
Sendo u=raiz(x^2-y^2), temos 3(x-yu)=raiz(1-u^2)=5(y-xu), donde
(5x-3y)u=5y-3x. Note que 5x-3y nao e' 0, senao 5y-3x tambem e' 0, donde
x=y=0, que nao e' solucao. Assim, u=(5y-3x)/(5x-3y), e logo
raiz(1-u^2)=raiz(1-((5y-3x)/(5x-3y))^2)=raiz(16(x^2-y^2)/(5x-3y)^2)=
=raiz(16u^2/(5x-3y)^2)=+-4u/(5x-3y). Como u e raiz(1-u^2) sao reais
positivos, |x|>=|y| e 0<=u<=1, donde, como x-yu>=0, segue que 5x-3y>=0, e
logo raiz(1-u^2)=4u/(5x-3y). Assim, temos 3(x-yu)=4u/(5x-3y), donde
3x=u(3y+4/(5x-3y))=(5y-3x)(3y+4/(5x-3y))/(5x-3y), donde
3x(5x-3y)^2=(5y-3x)(3y(5x-3y)+4), ou 15(5x-3y)(x^2-y^2)=4(5y-3x), donde
u^2=x^2-y^2=(4/15).(5y-3x)/(5x-3y)=(4/15).u, e logo u=0 ou u=4/15. Nao pode
ser u=0, pois teriamos 3x=1=5y e x^2=y^2, absurdo. Assim, u=4/15, donde
raiz(1-u^2)=raiz(209)/15, e u=(5y-3x)/(5x-3y)=4/15, donde y=65x/87, e
3(x-yu)=3(x-(4/15)(65x/87))=209x/87=raiz(209)/15, donde
x=87/(15.raiz(209))=29/(5.raiz(209)), e
y=65x/87=65/(15.raiz(209))=13/(3.raiz(209)).


>
>4=B0) (Ibero 96) Determine todos os poss=EDveis valores da soma dos =
>d=EDgitos de um quadrado perfeito.

    Como o Dirichlet observou, um quadrado e' sempre 0 ou 1 modulo 3, e, se
e' 0 modulo 3 entao e' 0 modulo 9. Assim, quadrados (e somas de digitos de
quadrados) sao sempre 0, 1, 4 ou 7 modulo 9. Como
((10^n+5)/3)^2=10^n.(10^n-1)/9+11.(10^n-1)/9+4=111...1222....25 tem soma dos
digitos igual a 3n+4, para todo n>=0, 1^2=1 tem soma dos digitos 1 e 
((10^n-1)/3)^2=10^(n+1).(10^(n-1)-1)/9+8.(10^n-1)/9+1=111...10888...89 tem
soma dos digitos 9n, para todo n>=0, mostramos que os numeros que sao soma
dos digitos de um quadrado perfeito sao exatamente os naturais da forma 
9n, 9n+1, 9n+4 ou 9n+7, com n>=0.

>
>
   Abracos,
            Gugu
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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References:
- [obm-l] Resquício da pequena lista de dúvidas
  - From: Igor Correia Oliveira

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