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Re: [obm-l] 2 problemas de analise
on 09.05.03 21:57, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira at gugu@impa.br
wrote:
> Oi Claudio,
> Voce esta' certo quanto ao fato de a_n convergir para 1<=x<=e^(1/e), e
> divergir para x>e^(1/e). Entretanto, a_n pode divergir (pelo menos a
> principio) se 0<x<1. Voce provou que a_(2n-1) converge a L1, e que a_2n
> converge a L2, com l2=x^(L1) e L1=x^(L2), mas pode ser que nenhum deles
> satisfaca x^y=y. A equacao x^(x^y) PODE ter mais de uma solucao em (0,1)
> para certos valores de x em (0,1)...
> Abracos,
> Gugu
>
Oi, Gugu:
De fato, para todo b suficientemente pequeno, a equacao x = b^(b^x) parece
ter mais de uma solucao.
Por exemplo, usando b = 0,05, eu achei as solucoes:
x1 = 0,137359396,
x2 = 0,350224853 e
x3 = 0,662660839 (com precisao de 9 casas decimais).
Tambem, para x = 0,05, a sequencia (a_n) eventualmente fica oscilando, com
a_(2n-1) convergindo para x1 e a_2n para x3.
Conclusao: Eu nao fui tao meticuloso quanto deveria nas minhas exploracoes
numericas...
Perguntas:
1) Sera que existe um valor critico b_0 tal que x = b^(b^x) tem solucao
unica se e somente se b >= b_0? Em caso afirmativo, qual o seu valor?
2) No caso b = x = 0,05, qual o papel desempenhado por x2?
*****
Ainda nao sai da estaca zero na soma da serie ln(2)/2 - ln(3)/3 + ...
Voce teria alguma dica a oferecer?
*****
Quando tiver uma chance, por favor nao deixe de mandar sua solucao para o
problema da sequencia e das medias.
Muito obrigado e um abraco,
Claudio.
>>
>>
>> ----- Original Message -----
>> From: "Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira" <gugu@impa.br>
>> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> Sent: Friday, May 09, 2003 1:42 AM
>> Subject: [obm-l] 2 problemas de analise
>>
>>
>>> Caros colegas,
>>> Tem uma pergunta que o Marcio me fez esta semana sobre uma serie que eu
>>> achei interessante e resolvi mandar para a lista:
>>> Calcular o valor da serie ln(2)/2-ln(3)/3+ln(4)/4-ln(5)/5+...
>>> Obs: Voces podem usar as funcoes que voces conhecem e constantes famosas,
>>> como a constante de Euler, na expressao final.
>>> Tem outro problema, este mais famoso, que eu nao sei se ja' foi
>> discutido
>>> nesta lista, que e' o seguinte: qual e' o dominio da funcao x^x^x^x^... ?
>>> Mais precisamente, dado x > 0 definimos a_1=x e a_(n+1)=x^(a_n) para todo
>>> n>=1. Para quais valores de x a sequencia (a_n) converge ? A resposta e'
>>> interessante...
>>> Abracos,
>>> Gugu
>>
>> Oi, Gugu:
>>
>> Ainda estou pensando no 1o., mas o 2o. ? realmente interessante:
>>
>> Mediante explora??es num?ricas, eu cheguei ?s seguintes conjecturas:
>> 1) Para 0 < x < 1, a sequencia (a_n) ? convergente.
>> 2) Para x = 1, (a_n) ? constante e igual a 1.
>> 3) Para 1 < x <= e^(1/e), (a_n) converge e o limite ? <= e.
>> 4) Para x > e^(1/e), (a_n) diverge.
>>
>> As demonstra??es seguem abaixo:
>>
>> CONJECTURA 1:
>>
>> Para 0 < x < 1, a subsequencia (a_(2n-1)) ? crescente e a subsequencia
>> (a_2n) ? decrescente.
>> Dem:
>> Isso decorre do seguinte fato:
>> Se 0 < a < 1 e 0 < b < c < 1, ent?o 0 < a < a^c < a^b < 1.
>>
>> Fazendo a = x e b = x^x, teremos:
>> 0 < x < x^(x^x) < 1, ou seja: 0 < a_1 < a_3 < 1.
>>
>> Suponhamos que a_(2n-1) = x^(x^a_(2n-3)) > a_(2n-3).
>>
>> Como x, a_(2n-3) e a_(2n-1) est?o entre 0 e 1 teremos que:
>> x^a_(2n-1) < x^a_(2n-3) ==>
>> a_(2n+1) = x^(x^a_(2n-1)) > x^(x^a_(2n-3) = a_(2n-1)
>>
>> Assim, por indu??o, provamos que (a_(2n-1)) ? sempre crescente.
>>
>> De forma an?loga, provamos que (a_2n) ? decrescente.
>>
>> Como as duas subsequencias s?o limitadas, conclu?mos que ambas convergem.
>>
>> Sejam A = lim a_(2n+1) = lim a_(2n-1) e B = lim a_(2n+2) = lim a_2n.
>> Como, a_(k+2) = x^(x^a_k), teremos A = x^(x^A) e B = x^(x^B)
>> Tomando logaritmos de base x, teremos: log_x(A) = x^A e log_x(B) = x^B.
>> No entanto, quando 0 < x < 1, a equacao log_x(y) = x^y tem exatamente uma
>> raiz real.
>> Logo, A = B.
>>
>> *****
>>
>> CONJECTURA 2:
>>
>> x = 1 ==>
>> a_1 = 1 e a_n = 1^a_(n-1) = 1 ==>
>> a_n ? constante e igual a 1.
>>
>> *****
>>
>> CONJECTURA 3:
>>
>> Se x > 1, ent?o (a_n) ? crescente.
>> Dem:
>> a_1 = x > 1
>> a_2 = x^x > x^1 = x = a_1
>> Suponhamos que a_n = x^a_(n-1) > a_(n-1).
>> Teremos, ent?o que a_(n+1) = x^a_n = x^(x^a_(n-1)) > x^a_(n-1) = a_n.
>> Logo, por indu??o, o resultado est? provado.
>>
>> Se 1 < x <= e^(1/e), ent?o, para todo n, a_n <= e.
>> Dem:
>> a_1 = x <= e^(1/e) < e
>> a_2 = x^x <= (e^(1/e))^e = e^(e/e) = e^1 = e
>> Suponhamos que a_n <= e.
>> Ent?o, a_(n+1) = x^a_n <= (e^(1/e))^a_n <= e^(e/e) = e^1 = e.
>> Logo, por indu??o, o resultado est? provado.
>>
>> Assim, se 1 < x <= e^(1/e), ent?o a_n ? crescente e limitada. Logo,
>> converge.
>>
>> Em particular, se x = e^(1/e), teremos que lim a_n = e.
>> Dem:
>> Suponhamos que lim a_n = L.
>> Assim: L = (e^(1/e))^L = e^(L/e) ==>
>> ln(L) = L/e ==>
>> L = e.
>>
>> *****
>>
>> CONJECTURA 4:
>>
>> Se y > x > e^(1/e)
>> Se x > e^(1/e), ent?o (a_n) ? crescente e ilimitada.
>> Dem:
>> J? provamos acima que (a_n) ? crescente.
>>
>> Suponhamos que exista K > 0 tal que, para todo n, a_n < K.
>> Nesse caso, dever? existir L = lim a_n.
>>
>> Assim, L = x^L > (e^(1/e))^L = e^(L/e) ==>
>> ln(L) > L/e ==>
>> contradi??o, pois para todo x > 0, ln(x) <= x/e ==>
>> n?o existe lim a_n ==>
>> como (a_n) ? crescente, n?o pode ser limitada.
>>
>> *****
>>
>> Um abra?o,
>> Claudio.
>>
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>> Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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