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Re: [obm-l] 2 problemas de analise
Oi Claudio,
Voce esta' certo quanto ao fato de a_n convergir para 1<=x<=e^(1/e), e
divergir para x>e^(1/e). Entretanto, a_n pode divergir (pelo menos a
principio) se 0<x<1. Voce provou que a_(2n-1) converge a L1, e que a_2n
converge a L2, com l2=x^(L1) e L1=x^(L2), mas pode ser que nenhum deles
satisfaca x^y=y. A equacao x^(x^y) PODE ter mais de uma solucao em (0,1)
para certos valores de x em (0,1)...
Abracos,
Gugu
>
>
>----- Original Message -----
>From: "Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira" <gugu@impa.br>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Friday, May 09, 2003 1:42 AM
>Subject: [obm-l] 2 problemas de analise
>
>
>> Caros colegas,
>> Tem uma pergunta que o Marcio me fez esta semana sobre uma serie que eu
>> achei interessante e resolvi mandar para a lista:
>> Calcular o valor da serie ln(2)/2-ln(3)/3+ln(4)/4-ln(5)/5+...
>> Obs: Voces podem usar as funcoes que voces conhecem e constantes famosas,
>> como a constante de Euler, na expressao final.
>> Tem outro problema, este mais famoso, que eu nao sei se ja' foi
>discutido
>> nesta lista, que e' o seguinte: qual e' o dominio da funcao x^x^x^x^... ?
>> Mais precisamente, dado x > 0 definimos a_1=x e a_(n+1)=x^(a_n) para todo
>> n>=1. Para quais valores de x a sequencia (a_n) converge ? A resposta e'
>> interessante...
>> Abracos,
>> Gugu
>
>Oi, Gugu:
>
>Ainda estou pensando no 1o., mas o 2o. é realmente interessante:
>
>Mediante explorações numéricas, eu cheguei às seguintes conjecturas:
>1) Para 0 < x < 1, a sequencia (a_n) é convergente.
>2) Para x = 1, (a_n) é constante e igual a 1.
>3) Para 1 < x <= e^(1/e), (a_n) converge e o limite é <= e.
>4) Para x > e^(1/e), (a_n) diverge.
>
>As demonstrações seguem abaixo:
>
>CONJECTURA 1:
>
>Para 0 < x < 1, a subsequencia (a_(2n-1)) é crescente e a subsequencia
>(a_2n) é decrescente.
>Dem:
>Isso decorre do seguinte fato:
>Se 0 < a < 1 e 0 < b < c < 1, então 0 < a < a^c < a^b < 1.
>
>Fazendo a = x e b = x^x, teremos:
>0 < x < x^(x^x) < 1, ou seja: 0 < a_1 < a_3 < 1.
>
>Suponhamos que a_(2n-1) = x^(x^a_(2n-3)) > a_(2n-3).
>
>Como x, a_(2n-3) e a_(2n-1) estão entre 0 e 1 teremos que:
>x^a_(2n-1) < x^a_(2n-3) ==>
>a_(2n+1) = x^(x^a_(2n-1)) > x^(x^a_(2n-3) = a_(2n-1)
>
>Assim, por indução, provamos que (a_(2n-1)) é sempre crescente.
>
>De forma análoga, provamos que (a_2n) é decrescente.
>
>Como as duas subsequencias são limitadas, concluímos que ambas convergem.
>
>Sejam A = lim a_(2n+1) = lim a_(2n-1) e B = lim a_(2n+2) = lim a_2n.
>Como, a_(k+2) = x^(x^a_k), teremos A = x^(x^A) e B = x^(x^B)
>Tomando logaritmos de base x, teremos: log_x(A) = x^A e log_x(B) = x^B.
>No entanto, quando 0 < x < 1, a equacao log_x(y) = x^y tem exatamente uma
>raiz real.
>Logo, A = B.
>
>*****
>
>CONJECTURA 2:
>
>x = 1 ==>
>a_1 = 1 e a_n = 1^a_(n-1) = 1 ==>
>a_n é constante e igual a 1.
>
>*****
>
>CONJECTURA 3:
>
>Se x > 1, então (a_n) é crescente.
>Dem:
>a_1 = x > 1
>a_2 = x^x > x^1 = x = a_1
>Suponhamos que a_n = x^a_(n-1) > a_(n-1).
>Teremos, então que a_(n+1) = x^a_n = x^(x^a_(n-1)) > x^a_(n-1) = a_n.
>Logo, por indução, o resultado está provado.
>
>Se 1 < x <= e^(1/e), então, para todo n, a_n <= e.
>Dem:
>a_1 = x <= e^(1/e) < e
>a_2 = x^x <= (e^(1/e))^e = e^(e/e) = e^1 = e
>Suponhamos que a_n <= e.
>Então, a_(n+1) = x^a_n <= (e^(1/e))^a_n <= e^(e/e) = e^1 = e.
>Logo, por indução, o resultado está provado.
>
>Assim, se 1 < x <= e^(1/e), então a_n é crescente e limitada. Logo,
>converge.
>
>Em particular, se x = e^(1/e), teremos que lim a_n = e.
>Dem:
>Suponhamos que lim a_n = L.
>Assim: L = (e^(1/e))^L = e^(L/e) ==>
>ln(L) = L/e ==>
>L = e.
>
>*****
>
>CONJECTURA 4:
>
>Se y > x > e^(1/e)
>Se x > e^(1/e), então (a_n) é crescente e ilimitada.
>Dem:
>Já provamos acima que (a_n) é crescente.
>
>Suponhamos que exista K > 0 tal que, para todo n, a_n < K.
>Nesse caso, deverá existir L = lim a_n.
>
>Assim, L = x^L > (e^(1/e))^L = e^(L/e) ==>
>ln(L) > L/e ==>
>contradição, pois para todo x > 0, ln(x) <= x/e ==>
>não existe lim a_n ==>
>como (a_n) é crescente, não pode ser limitada.
>
>*****
>
>Um abraço,
>Claudio.
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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