Re: [obm-l] Por geo. analitica e plana

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 10.05.03 01:54, jorge.jf at jorge.jf@bol.com.br wrote:

>> Caro colega,
>> 
>> a demonstração analítica é que tem me atormentado
>> ultimamente.
>> 
>> OBS: Se demonstrarem partindo de alguma fórmula não
>> muito conhecida, indiquem de onde sai a fórmula.
>> O Departamento de Matemática aqui da Universidade
>> Federal de Juiz de Fora não me apresentou uma solução.
>> (Será que é difícil assim?)
>> 
>> Obrigado.
>> 
>> O problema é: Demonstrar analiticamente que o
> baricentro, o circuncentro e o ortocentro de qualquer
> triângulo são colineares (a reta de colinearidade é
> denominada Reta de Euler).
>> 

Caro Jorge:

A demonstracao analitica nao eh muito dificil, apenas um pouco bracal.
Depende apenas de alguns conceitos basicos, tais como coeficientes angulares
e a equacao da reta normal a uma reta dada passando por um ponto dado.

Pra facilitar as contas, escolha um dos vertices do triangulo para a origem
do seu sistema de coordenadas e coloque o outro vertice no eixo-x.

Assim, os vertices do triangulo serao:
A = (0,0), 
B = (6a,0), 
C = (6b,6c)
onde a, b e c sao numeros reais arbitrarios.

(o 6 deve-se ao fato de que o baricentro tem coordenadas divididas por 3 e o
circuncentro envolve pontos medios ==> coordenadas divididas por 2)

O baricentro G eh o ponto ((0+6a+6b)/3,(0+0+6c)/3) ==>

G = ( 2a + 2b , 2c ).

*****

O circuncentro T eh justamento o ponto de intersecao das retas mediatrizes
dos segmentos AB e AC.

A mediatriz de AB eh a reta normal a AB passando pelo seu ponto medio:
Ponto medio de AB = (3a,0)
AB coincide com o eixo-x ==>
A normal a AB eh paralela ao eixo-y ==>
Equacao da normal a AB pelo ponto medio:
x = 3a  (*)

Mediatriz de AC:
Ponto medio de AC = (3b,3c)
Coeficiente angular de AC = (6c - 0)/(6b - 0) = c/b ==>
Coeficiente angular da normal a AC = -b/c ==>
Equacao da normal a AC pelo ponto medio:
y - 3c = (-b/c)(x - 3b) ==>
y = -bx/c + 3(b^2 + c^2)/c (**)

Logo, resolvendo o sistema formado por (*) e (**), teremos:
x = 3a  e  y = 3(b^2 - ab + c^2)/c ==>

T = ( 3a , 3(b^2 - ab + c^2)/c )

*****

O ortocentro H eh o ponto de encontro das tres retas seguintes (na verdade,
como estas tres retas sao concorrentes, voce so precisa calcular o ponto de
intersecao de duas delas):
normal a BC passando por A;
normal a AC passando por B;
normal a AB passando por C.

Normal a BC por A:
Coeficiente angular de BC = (6c - 0)/(6b - 6a) = c/(b - a) ==>
Coeficiente angular da normal a BC = -(b - a)/c = (a - b)/c ==>
Equacao da reta normal a BC por A:
y - 0 = [(a - b)/c](x - 0) ==>
y = (a - b)x/c  (%)

Normal a AB por C:
A normal a AB eh paralela ao eixo-y ==>
Equacao da reta normal a AB por C:
x = 6b  (%%)

Resolvendo o sistema formado por (%) e (%%) obtemos:
x = 6b   e   y = 6(a - b)b/c ==>

H = ( 6b , 6(a-b)b/c )

*****

Uma vez achadas as coordenadas de G, T e H, calcule o coeficiente angular
das retas GT e GH:

Coeficiente angular de GT = (2c - 3(b^2 - ab + c^2)/c)/(2a + 2b - 3a) =
(3ab - 3b^2 - c^2)/(c(2b - a))

Coeficiente angular de GH = (2c - 6(a-b)b/c)/(2a + 2b - 6b) =
((2c^2 - 6ab + 6b^2)/c)/(2a - 4b) =
(3ab - 3b^2 - c^2)/(c(2b - a))

Assim, os coeficientes angulares de GT e GH sao iguais. Logo, G, T e H sao
colineares.


Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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